escalas

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica ydefinida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definidapositiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde  es un espacio vectorial y  es el cuerpo sobre el que está definido . La función  (que toma como argumentos dos elementos de ,y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha: 
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: ,y  si y sólo si x = 0,
donde  son vectores de V,  representan escalares del cuerpo  y  es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de sersesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo  o  dotado de un producto escalar sedenomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que esun espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que estádefinido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.


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