Espacio Métrico - Entorno

Sistema de Entornos
Concepto de Entorno
Entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto en dónde uno puede separarse un poco del punto en cuestión sin abandonar el conjunto. Es decir, siX es el espacio topológico y p es un habitante de X, un conjunto U sería entorno del punto p si hay un abierto V entre p y U.

Definición de Entorno
Definición. Si es un espacio métrico, diremosque un subconjunto es entorno de un punto si verifica que y existe un abierto , tal que . A la familia de entornos de un punto la denotaremos por .

Proposición. Sies un espacio métrico, sonequivalentes:
(a) es entorno de un punto
(b) Existe , tal que .

Demostración.
Por ser entorno de x, existe A abierto con , luego para algún, y por tanto

Como es abierto, esconsecuencia de la definición.

Ejemplos

Ej.1. En un espacio discreto, un subconjunto U es entorno de un punto x si, y sólo si, ; en particular un conjunto unipuntual es entorno del punto en cuestión,pues todos los subconjuntos de un espacio discreto son abiertos (y también cerrados).

Ej.2. En con la distancia usual, el intervalo [0; 2] es entorno del 1 (¿por qué?). En consecuencia un entorno noes necesariamente, un conjunto abierto.

Ej.3. Una bola abierta es entorno de todos sus puntos, pues contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.

Proposición. Sies un espacio métrico,son equivalentes:
(a) es abierto.
(b) A es entorno de todos sus puntos.

Demostración.
Si y A es abierto, entonces , es decir, .
Si A es entorno de cada uno de suspuntos, para cada uno de ellos existe abierto, tal que , lo que significa que que es abierto por ser unión de conjuntos abiertos.



Proposición. Sea (X; d) un espacio métrico y un punto . La familiade entornos de x, verifica las siguientes propiedades:
(1) Si x, entonces .
(2) Si x y , entonces .
(3) Si , entonces .
(4) Si , existe , tal que y para todo .

Demostración.
(1) Por la...