Especial

Unidad 3. Controlabilidad
3.1 Introducción
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t 0 si se puede llevar de cualquier estado
inicial x(t0 ) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricción en un intervalo de
tiempo finito.
3.2 Controlabilidad de sistemas lineales
3.2.1 Controlabilidad completa de estado de sistemas en tiempo continuo
Considere un sistemaen tiempo continuo
x  Ax  Bu

(3.1)

donde x = vector de estados (vector de dimensión n)
u = señal de control (escalar)
A = matriz de n x n
B = matriz de n x 1
El sistema descrito en la ecuación (3.1) ES de estado controlable em t  t0 , es posible
construir uma señal de control sin restricciones que transfiere um estado inicial a cualquier estado
final em um intervalo de tiempo finitot0  t  t f . Si todos los estados son controlables, se dice que
el sistema es de estado completamente controlable. Suponer sin perdidas de generalidades, que el
estado final es el origen en el estado de estado y que el tiempo inicial es cero, o t0  0 .
La solución de la ecuación (3.1)
t

x (t )  e At x (0)   e A(t  ) Bu( )d
0

Aplicando la definición de control habilidadcompleta de estado se tiene

x (t f )  0  e

At f

t

x (0)   e

A( t f  )

0

Bu( )d

O bien
tf

x (0)   e  At Bu( )d

(3.2)

0

recordar que

e At  0  t  I  1  t  A2 

  m 1  t  Am 1

n 1

e A    k ( ) Ak

(3.3)

k 0

Sustituir e  At en la ecuación (3.2) por la ecuación (3.3) se produce
n 1

x (0)   Ak B   k  τ  u τ  dτ
tf

(3.4)

0

k 0

defina

 k   αk  τ  u  τ  dτ
tf

0

Control Moderno

Dr. Jorge Gudiño Lau

04/06/2012

Por lo tanto, la ecuación (3.4) se puede escribir
n 1

x  0     Ak B  k
k 0

 0 
 
1 
2
n 1
x  0   [ B AB A B
A B]  2 
(3.5)




 
 n 1 
Si el sistema es de estado completamente controlable, entoncesdado cualquier estado inicial
x 0 , la ecuación (3.5) debe de satisfacer. Esto requiere que el rango de la matriz de n x n.

[B

AB

A2 B

An1B]

sea n. A esta matriz se le conoce como “matriz de controlabilidad”

3.3 Controlabilidad de la salida
En el diseño practico de un sistema de control, talvez se quiera controlar la salida en lugar del
estado del sistema. La controlabilidadcompleta del estado no es necesaria ni suficiente para
controlar la salida del sistema. Por esa razón es conveniente definir una controlabilidad completa de
salida por separado.
Considere el sistema descrito mediante
(3.6)
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
(3.7)
en donde
x = vector de estado (vector de dimensión n)
u = vector de control (vector de dimensión r)
y = vector de salida (vector dedimensión n)
A = matriz de n  n
B = matriz de n  r
C = matriz de m  n
D = matriz de m  r
Se dice que el sistema descrito mediante las ecuaciones (3.6) y (3.7) es de estado completamente
controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiere cualquier
salida inicial determinada y  t0  a cualquier salida final y  t f  en un intervalo de tiempo finitot0  t  t f
El sistema descrito mediante las ecuaciones (3.6) y (3.7) es de salida completamente
controlable si y solo si la matriz de m x (n  1)r .
CB CAB CA2 B CA3 B
CAn1B D 


es de rango m. la presencia del término Du en la ecuación (3.7) ayuda a establecer la
controlabilidad de la salida.

Control Moderno

Dr. Jorge Gudiño Lau

04/06/2012

Unidad 4. Observabilidad4.1 Introducción
En la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su realimentación. Por
lo tanto, necesitamos estimar las variables de estado que no están disponibles. La estimación de
variables semejantes de estado se les llama observación. Un dispositivo (o un programa de
computadora) que estima u observa las variables de estado se llama observador de estado, o...