Estadistica No 5

1.

´
ESTAD´IGRAFOS DE DISPERSION

La idea de dispersi´
on se relaciona con la mayor o menor concentraci´on de los datos en torno a un
valor central, generalmente la media aritm´etica.

1.1.

Varianza:

Es la media aritm´etica de los cuadrados de las desviaciones. Se denota por S 2 . Este valor cuantifica el grado de dispersi´
on o separaci´
on de los valores de la distribuci´on con respecto a lamedia
aritm´etica. A mayor dispersi´
on mayor valor de la varianza, a menor dispersi´on menor valor de la
varianza.
Datos no tabulados: tomamos como ejemplo los siguientes datos.
5, 8, 6, 7, 5, 6, 5
en primer lugar, se debe calcular el promedio aritm´etico:
42
5 + 8 + ... + 5
=
=6
7
7
La f´ormula para calcular la varianza es:
X=

n

(Xi − X)2
S2 =
S2 =

i=1

n

(5 − 6)2 + (8 − 6)2 + (6 − 6)2 +... + (5 − 6)2
7

8
1 + 4 + 0 + ... + 1
= = 1, 14
7
7
se puede calcular la varianza por una f´ormula mas reducida que la anterior:
S2 =

n

X12
S2 =

i=1

=X

n

2

Ejemplo:
X

5

4

6

8

8

6

5

X2

25

16

36

64

64

36

25

1

= 266

266
− 62 = 2, 0
7
Datos tabulados: en los de tener los datos en una tabla de frecuencia, el calculo de la varianza
se hace a trav´es de la siguiente f´
ormula.S2 =

n

(Yi − X)2 · fi
S2 =

i=1

n

o bien es reducida.
n

Yi2 · fi
S2 =

i=1

= X)2
n
Para el ejemplo se usara la tabla 2, que se vuelve a repetir en este cap´ıtulo:
Intervalos
Y i−1 − Y i∗−1
[60 - 70)
[70 - 80)
[80 - 90)
[90 - 100)
[100 - 110)
[110 - 120)

Yi
65
75
85
95
105
115

S2 =

fi
3
5
7
11
8
6
40

Yi2
4.225
5.625
7.225
9.025
11.025
13.225

Yi2 · fi
12.675
28.125
50.575
99.275
88.20072.350
351.200

351200
− (93, 5)2
40

S 2 = 8780 − 8742, 25
S 2 = 37, 75
Propiedades de la varianza.
1) La varianza es siempre un valor positivo
n

(Xi − X)2

S2 =
i=1

2) Sea Y = a ± x, entonces V (Y ) = V (a ± x) = V (x). Si a una variable se le suma o resta una
constante, la varianza permanece igual.

2

3) Sea Y = a · x, entonces V(Y) = V (a · x) = a2 V(x). Si una variable se le multiplica poruna
constante, la varianza cambia multiplic´andose por la constante al cuadrado.
Ejemplo: 80 empleados de una compa˜
n´ıa tienen un sueldo promedio de $125.000 y una varianza
de $12.000. Si reciben un reajuste del 20 %, calcular la nueva varianza.
Si se realizara un reajuste del 20 % la constante ser´a 1,2.
V (x · 1, 2) = (1, 2)2 · V (x)
= 1, 44 · 12,000
= $17,280

1.2.

Desviaci´
on est´
andar:Se designa la varianza por la letra S y se define como la ra´ız de la varianza.
√
S=

S2

√
En el ejemplo de la tabla 2 la desviaci´
on est´andar es S = 204 = 14, 28
La desviaci´on est´
andar es mas usada que la varianza. Una de sus utilidades es medir la concentraci´on de los datos respecto a la media aritm´etica. Para distribuciones normales:
¯ - S, X
¯ +S
- el 68,27 % de los datos est´
ancomprendidos en el rango X
¯ - 2S, X
¯ + 25
- el 95,45 % de los datos est´
an comprendidos en el rango X
¯ - 3S, X
¯ + 3S
- el 99,73 % de los datos est´
an comprendidos en el rango X

1.3.

Coeficiente de variaci´
on:

Las medidas de dispersi´
on que se han estudiado anteriormente son medidas absolutas y se expresan en las mismas unidades con las que se mide la variable.
Si se necesita comparar dos om´
as grupos de datos medidos con diferentes unidades, por lo general,
no es posible la comparaci´
on utilizando la dispersi´on absoluta. Por ejemplo, una serie de precios
en dolares con una serie de precios en pesos.
Para estos casos se usa la dispersi´
on relativa:
Dispersi´
on relativa = dispersi´on absoluta / media
Si en el caso particular de usar la desviaci´on est´andar (S) como dispersi´onabsoluta y la media
¯ recibe el nombre de coeficiente de variaci´on:
aritm´etica (X),
S
Cy = ¯ · 100
X

3

Donde:
S = desviaci´
on est´
andar
¯
X= promedio aritm´etico
Ejemplo:
Supongamos que un grupo de profesionales de una empresa A tienen un sueldo promedio de
$500.000 y una varianza de $12.000. En otra empresa, B, otro grupo de profesionales tienen un
sueldo de $600.000 y una desviaci´
on de...