Estaditica

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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
RESULTAN DE ESTUDIAR FENÓMENOS EN LOS QUE PARA CADA OBSERVACIÓN SE
OBTIENE UN PAR DE MEDIDAS Y, EN CONSECUENCIA, DOS VARIABLES.

Ejemplos.
• Talla y peso de los soldados de un regimiento.
• Calificaciones en Física y Matemáticas de los alumnos de una clase.
• Gastos de publicidad y ventas de una fábrica.
• Etc.
Estas variables resultantes de laobservación de un fenómeno respecto de dos modalidades se llaman variables estadísticas bidimensionales.
Los valores de una variable estadística bidimensional son pares de números reales de
la forma (xi, yi).
Representados en un sistema de ejes cartesianos se obtiene un conjunto de puntos llamado diagrama de dispersión o nube de puntos.
Ejemplo: Nube de puntos de la distribución dada por la tablasiguiente:
Notas de Matemáticas y Física de 10 alumnos
Matemáti5
6
2
9
4
cas
Física
4
5
3
8
4

Notas
de
Física

Notas de Matemáticas

5

1

3

7

7

5

2

2

6

8

28

Parámetros estadísticos.
Media de la variable X:

x=

Media de la variable Y:

∑n x

y=

2
Varianza de la variable X: s x =

2
Varianza de la variable Y: s y =

Covarianza:s xy =

∑n x y
i

i

i

N

i

i

N
∑ ni y i
N
∑ ni xi2
N
∑ ni yi2
N

−x

2

−y

2

− x. y

Correlación.
Estudia la relación o dependencia que existe entre dos variables que intervienen en
una distribución bidimensional.
Coeficiente de correlación lineal.
Es un número que mide el grado de dependencia entre las variables X e Y.
s xy
Se mide mediante lasiguiente fórmula: r =
s x .s y
Su valor está comprendido entre – 1 y 1.
• Si r = -1 ó r = 1 todos los valores de la variable bidimensional se encuentran situados sobre una recta.
• Si – 1< r < 0 se dice que las variables X e Y están también en dependencia aleatoria. La correlación es negativa.
• Si 0 < r < 1 la correlación es positiva. Las variables X e Y están también en dependencia aleatoria.
Lacorrelación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a –1 ó 1 y es tanto
más débil a medida que se aproxima a 0.
Recta de regresión.
Tenemos una distribución bidimensional y representamos la nube de puntos correspondiente. La recta que mejor se ajusta a esa nube de puntos recibe el nombre de recta
de regresión. Su ecuación es la siguiente:
Recta de regresión de y sobre x:

y−y=Recta de regresión de x sobre y:

x−x =

s xy
2
sx

s xy
2
sy

( x − x)

( y − y)

29

A partir de esta recta podemos calcular los valores de x conocidos los de y. La fiabilidad que podemos conceder a los cálculos obtenidos viene dada por el coeficiente de correlación: si r es muy pequeño no tiene sentido realizar ningún tipo de estimaciones.
Si r es próximo a – 1 ó 1, lasestimaciones realizadas estarán cerca de los valores reales.
Si r = 1 o r = -1 , las estimaciones realizadas coincidirán con los valores reales.

Ejercicios resueltos.
1.- Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (Y) que circulan
por una determinada autopista a más de 120 kms/h, puede ponerse en función del número de accidentes (X) que ocurren en ella.
Durante 5 días obtuvo lossiguientes resultados:
X
5
7
2
1
9
Y
15
18
10
8
20
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 kms/h?
c) ¿Es buena la predicción?
Solución:
Disponemos los cálculos de la siguiente forma:
(Accidentes)

xi
5
7
2
1
9
24

∑x

Vehículos

yi
15
1810
8
20
71

xi2

yi2

xiyi

25
49
4
1
81
160

225
324
100
64
400
1113

75
126
20
8
180
409

24
= 4,8 ;
N
5
∑ xi2 − x 2 = 160 − 4,8 2 = 8,96
2
sx =
N
5
x=

i

=

2
sy =

∑y
N

2
i

2

−y =

y=

1113
− 14,2 2 = 20,96 ; s xy =
5

∑x y
i

N

i

r=

s xy
s x .s y

=

13,64
8,96 . 20,96

= 0,996

b) Recta de...