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FCEyN - Estadística para Química

- 2do. cuat. 2006

-

Marta García Ben

Distribución conjunta de variables aleatorias
En muchos problemas prácticos, en el mismo experimento aleatorio, interesa estudiar no sólo una
variable aleatoria sino dos o más. Por ejemplo:
Ejemplo 1: Se elige un hombre adulto al azar en una ciudad y se observa X= peso,Y=estatura.
Ejemplo 2: se elige una muestra de unmineral y se le mide su contenido de hierro por dos métodos
distintos. Sea X= medición obtenida con el método 1, Y=idem con el método 2.
Ejemplo 3: Se elige un alumno al azar de 1er. año y se le pregunta X = nota en Matemáticas del
curso de ingreso Y = número de horas por semana que trabaja fuera de la facultad.
En cada uno de estos ejemplos se puede definir un espacio muestral S, una función deprobabilidad P
y dos variables aleatorias
X:S→R,
Y:S→R,
definidas en el mismo espacio S.
Hasta ahora para cada v.a. nos interesaba conocer su distribución, o sea poder calcular P(X∈B) para
todo B⊂R
Con dos variables aleatorias nos puede interesar conocer también la distribución conjunta de las vs.
as. X e Y. Conocer la distribución conjunta de X e Y quiere decir saber calcular
P((X,Y) ∈ B) para todoB⊂R2.
En forma análoga a como se define función de distribución para una sola v.a. se define la función de
distribución conjunta de dos vs. as.
Función de distribución conjunta de dos variables aleatorias. Definición
Sea X e Y dos vs. as. definidas en el mismo espacio de probabilidad. Su función de distribución
conjunta es la función:
F(x,y) = P(X≤x, Y≤y ) = P((X≤x) ∩ (Y≤y))
Puede observarse queF:R2→R.
Distribución conjunta de dos variables aleatorias discretas.
Definición de función de probabilidad puntual conjunta.
Sean X e Y dos vs. as. discretas definidas en el mismo espacio muestral S. Su f.p.p. conjunta es:
p(x,y) = P(X=x, Y=y)

∀(x,y)∈ R2

Puede observarse que p:R2→R

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Marta García Ben

Ejemplo 4: Se tira 3 veces una monedaequilibrada. Sea X el número de caras, Y el nro. de caras en
las dos primeras tiradas.
Evidentemente ambas variables son discretas, ya que IX = {0,1,2,3}, IY = {0,1,2}
La siguiente tabla da la f.p.p. conjunta de estas dos variables aleatorias (verifíquelo):

y\x
0
1
2
Total

0
1/8
0
0

1
1/8
2/8
0

2
0
2/8
1/8

3
0
0
1/8

Total

1

Propiedades de las funciones de probabilidad puntual conjunta de 2 vs.as.
Son funciones p:R2→R que cuplen dos propiedades:
a)
b)

p(x,y)≥0 para todo (x,y)∈R2
Σ Σ p(x,y) = 1
x∈IX y∈IY

Conocida la f.p.p. conjunta de X e Y, se puede calcular P((X,Y)∈B) del siguiente modo:
P((X,Y)∈B) =

Σ p(x,y)
x∈IX y∈IY
(x,y)∈B

¿Si conozco la f.p.p. conjunta de X e Y, puedo calcular la f.p.p. de X?
Calcularla en el ejemplo 4.
En general:
pX(x) = Σ p(x,y)
y∈IY
pY(y) = Σ p(x,y)
x∈IXUn nombre: la función p(x,y) se llama como dijimos f.p.p. conjunta de X e Y. Las funciones pX y pY
se suelen llamar "funciones de probabilidad puntual marginales", ¿de donde viene ese nombre?

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Marta García Ben

Distribución conjunta continua de dos variables aleatorias.
En el caso de una variable aleatoria dimos la siguiente definición.Definición: Una variable aleatoria X es continua si existe una función f:R→R+ tal que
x

F(x) =

∫

∀ x∈R

f(t)dt

−∞

En forma similar definimos:
Definición: Dos variables aleatorias X e Y tienen distribución conjunta continua si existe una función
f:R2→R+ tal que si F es la función de distribución conjunta de X e Y entonces:
x

F(x,y) =

y

∫ ∫

∀ (x,y)∈R2

f(u,v)dv du

−∞ −∞

La función f sellama función de densidad conjunta de X e Y.
Propiedades de las funciones de densidad conjunta
Son funciones f: R2→R que cumplen dos propiedades:
a)

f(x,y)≥0 para todo (x,y)∈R2
+∞ +∞

b)

∫ ∫

f(x,y)dx dy =1

−∞ −∞

Al igual que en el caso de una sola variable, también la función de densidad conjunta es un modelo
para un histograma. Para el histograma “conjunto” de las variables X e Y (¿se...