Estocasti

V JORNADAS ASEPUMA

PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA MULTIOBJETIVO Caballero, Rafael1
Cerdá, Emilio2 Muñoz, Mª del Mar1 Rey, Lourdes1

1. INTRODUCCIÓN Muchos de los problemas de programación matemática incorporan parámetros que se suponen conocidos en el momento de resolver el problema y, por tanto, constantes a la hora de resolverlo. Sin embargo, si el problema de optimización es el resultado de larepresentación mediante un modelo de una situación real en la que hemos de tomar una decisión, es frecuente que se desconozcan los valores de algunos de los parámetros que intervienen en él. Este desconocimiento da lugar a que en el momento de adoptar una decisión se desconozcan las posibles consecuencias de la misma. En base a la información disponible acerca de los posibles resultados de unaacción en cualquier proceso de toma de decisiones, podemos decir que cuando tomamos una decisión estamos ante una situación de: • Certidumbre: Si cada acción da lugar a un resultado conocido e invariable. • Riesgo: Si cada acción lleva a un posible resultado y cada resultado lleva asociada una probabilidad de que ocurra, probabilidad conocida para el

decisor. La situación de certidumbre es uncaso degenerado de una situación de riesgo con probabilidades cero y uno. • Incertidumbre: Si cada acción tiene una consecuencia de entre un conjunto de posibles resultados, pero se desconocen las probabilidades de estos posibles resultados.

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Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas). Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Málaga 2 Departamento de AnálisisEconómico. Universidad Complutense de Madrid.

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Caballero Fernández, R. y otros

Para resolver problemas en los que se desconocen los valores de algunos de los parámetros que intervienen en el mismo (situaciones de riesgo o de incertidumbre), es posible adoptar distintas “soluciones”. En determinadas circunstancias, y en base a la información disponible acerca de ellos, es posible “sustituir”estos valores por una estimación de los mismos, una medición no exacta de su valor esperado o bien tratar estos parámetros como variables aleatorias. La programación estocástica analiza la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos parámetros son desconocidos pero se conoce la distribución de probabilidad asociada a ellos y, por tanto, las situaciones que se analizanmediante la misma son situaciones de riesgo. Prékopa (1995) define la programación estocástica como la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos o todos los parámetros son variables aleatorias. En programación estocástica se relaja, por tanto, la hipótesis de que todos los parámetros del problema son deterministas, permitiendo tratar como variables aleatorias parámetrossujetos a incertidumbre o a posibles errores en su medición o estimación y de los que se conoce su distribución de probabilidad. La formulación general de un problema estático de programación estocástica es:

aE∈rg(A )
T

(PE)

~ donde ξ es un vector aleatorio definido sobre un conjunto E ⊂ Rk. Suponemos dada la familia F de eventos, es decir, subconjuntos de E y la distribución de probabilidadP definida sobre F, de manera que para cualquier subconjunto de E, A ⊂ E, A ∈ F, la probabilidad de A, P(A), es conocida. Además, se mantiene la hipótesis de que la distribución de probabilidad, P, es independiente de las variables de decisión, xi.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Suponemos que las funciones ~ (x , ξ ), g1 (x , ξ ), g 2 (x , ξ ),...., g m (x, ξ ) , x ∈ Rn, z

están definidas en todo el espacioRn x E.

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V JORNADAS ASEPUMA

Si analizamos el problema (PE), el hecho de que algunos parámetros del problema ~ sean aleatorios da lugar a que la función objetivo y las funciones gi sean variables aleatorias, lo que implica que el problema no esté bien definido matemáticamente. Nótese que si bien la elección de un vector x es determinista (las decisiones que adopta el decisor no están...