estructuras algedraicas

Estructuras algebraicas: relaciones de equivalencia
1. Decir cu´ les de las siguientes son relaciones de equivalencia en el conjunto dado:
a
En Z: a ∼b si y s´ lo si a divide b.
o
En R:

a ∼ b si y s´ lo si a − b ∈ Z.
o

En P(Z) = {subconjuntos de Z}:

A ∼ B si y s´ lo si A ⊆ B.
o

En R2 :(a, b) ∼ (c, d) si y s´ lo si 2a − b = 2c − d.
o

En R2 :

u ∼ v si y s´ lo si ||u|| = ||v||.
o

2. Sea ∼ una relaci´ n de equivalencia en unconjunto X y denotamos con [a] la clase de equio
valencia de a ∈ X con respecto a la relaci´ n ∼. Mostrar que las siguientes propiedades
o
son equivalentes:[a] = [b],
a ∼ b,
a ∈ [b],
[a] ∩ [b]

∅.

3. Mostrar que la siguiente es una relaci´ n de equivalencia en R y describir sus clases de
oequivalencia:
a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ Z .

4. Sea ∼ la relaci´ n de equivalencia definida en el ejercicio anterior. Sea X = R /∼ el cono
junto cociente, o sea elconjunto de las clases de equivalencia de ∼. Definir una biyecci´ n
o
entre X y el intervalo [0, 1).

5. Describir las clases de equivalencia de la siguienterelaci´ n de equivalencia en R2 :
o
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a2 + b2 = c2 + d2
y definir una biyecci´ n entre el conjunto cociente R2 / ∼ y el conjunto de losn´ meros
o
u
reales non negativos.

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6. Sea R∗ = R −{0} y Q∗ = Q −{0}.
Mostrar que la siguiente es una relaci´ n de equivalencia en R∗ :
o
aa ∼ b ⇐⇒ ∈ Q∗ .
b
Describir la clase de equivalencia de un n´ mero real a.
u
√
√
Mostrar que [ 3] = [ 12].
√
√
Mostrar que [ 3] [ 6].