Estudiantw

Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada

Moisés Villena Muñoz

4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
APROXIMACIONES
ANALISIS MARGINAL
COSTO MEDIO
ELASTICIDAD
MONOTONÍA
M ÁXIMOS Y MÍNIMOS
CONCAVIDAD
ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS
PROBLEMAS PRACTICOS DE OPTIMIZACIÓN
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
4.11.1 TEOREMA DE LAGRANGE
4.11.2TEOREMA DE ROLLE
4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY
4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL

OBJETIVOS:








Resolver problemas de razón de cambio.
Aproximar variaciones de f unciones.
Aplicar e interpretar el Análisis Marginal
C alcular Elasticidad de la demanda
Elaborar gráficas.
Resolv er problemas prácticos de Optimización
C alcular indeterminaciones empleando la regla
de L´hopital81

Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada

Moisés Villena Muñoz

4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
Suponga que se tiene y  f (t ) y q ue se da una variación e n t , denotada como
t , esto provoca una variación en la función, denotada como y . Esta variación
puede ser en sentido de aumento, positiva, o en sentido de disminución, negativa.
La variación de la función sería:

y  f (t t )  f (t )
Se considera la variación media de la función como:

y f (t  t )  f (t )

t
t
Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio
y
f (t  t )  f (t )
instantáneo de la f unción, es decir: lim
 lim
t 0 t
t 0
t
Observe que la última expresión es la derivada de la función f (t ) ; entonces, la
derivada f ´(t ) e xpresa el cambioinstantáneo que experimenta la función.

4.1.1 DEFINICIÓN .

Sea y  f (t ) . La

RAZÓN O RAPIDEZ DE CAMBIO

de y

con respecto a t , se define como:
f ´(t )  lim

t 0

La

f (t  t )  f (t )
t

RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL

se define como:

f ´(t )
100
f (t )

Obtener rapidez de cambio porcentual posi bilita la comprensión del cambio
significativo con respecto alvalor original. Esto nos va a permitir resolver problemas
de aplicación.

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Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1
En un estudio realizado a partir del año 1999 se d eterminó q ue el impuesto p redial estaba dado
p or I (t )  10t 2  70t  500 d ólares, donde " t " significa años después de 1999.
a) Calcule la razón a la que aumentó el impuesto p redial,con respecto al tiempo, en el 200 5.
b ) ¿ A qué razón porcentual aumentó el impuesto p redial, con respecto al tiempo en 2005?
S OLUCIÓN:
a) La razón de cambio d el impuesto predial es la derivada de I (t ) , es decir:

I´(t )  20t  70 dólares por año
desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto:
I ´(6)  20  6   70
 190
E ntonces, después de seis años elimpuesto estará cambiando a una razón de 190 DÓLARES PO R AÑO .
b) La razón de cambio porcentual será:

I ´(6)
100
I (6)

calculemos I (6) :

I (6)  10 6  70 6  500  1280 dólares
2

E ntonces

I ´(6)
190
100 
100  14.84 %
I (6)
1280

Es decir, después de seis años el impuesto estará cambiando al 14. 84% anual.

Ejemplo 2
Un comerciante estima que la d emanda de ciertoartículo estará dada por

D( p ) 

4000
p2

artículos a la semana cuando el precio sea p d ólares por artículo . Se estima que dentro de t
semanas, el precio d el a rtículo estará dado por p(t )  2t 2  t  3 d ólares por artículo . ¿A qué
ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos co n respecto al tiempo dentro de 10
semanas?
S OLUCIÓN

E l ritmo o razón de cambio de l ademanda de los artículos será;

d
D( p)
dt

C omo la demanda D es función de precio p , aplicamos la regla de la cadena para obtener la derivada de la
demanda con respecto al tiempo t , es decir:

 dD  dp
d
 D( p)      

dt
 dp   dt 
 8000 
   3   4t  1
p

Después de 10 semanas el precio de los artículos será: p(10)  210  10  3  213 dólares por...