Etarea7

1
Estad´ıstica III
Tarea 1
1.− Sean {Yt } un proceso estacionario de segundo orden y ∇ el operador
de diferencias ∇xt = (1 − B)xt = xt − xt−1 . Pruebe que el proceso
Xt = ∇ j Yt
es estacionario desegundo orden.
2.− Para una serie de observaciones x1 , x2 , . . . xn sea γh la autocovarianza muestral definida por
1
n

γh =
donde xn =
los datos.

1
n

n
i=1

n−h
t=1 (xt

− xn )(xt+h − xn ),
γ(−h)0 ≤ h ≤ n − 1,
−n < h ≤ 0,

xi . Pruebe que γh es invariante bajo traslaciones de

3.− Usando la funci´on arima.sim de la libreria TS en el paquete R,
simule muestras de los procesos que se listanabajo. Como la funci´on
arima.sim s´olo trabaja cuando se le dan valores de los par´ametros
φ1 , . . . , φp y θ1 , . . . , θq tales que el correspondiente proceso ARMA es
estacionario, entonces usteddebe proponer valores para estos par´ametros
que hagan que el proceso sea estacionario. Asuma que para cada uno
de estos procesos el ruido blanco que lo define { t }t tiene media 0 y
varianza σ 2 = 1.Para cada proceso simulado, grafique el estimador
muestral de su acf.
(a) AR(3)
(b) MA(2)
(c) ARMA(1, 1)
(d) ARMA(1, 2)
4.− Sean Xt = φXt−1 + t , un proceso autorregresivo con |φ| < 1 y { t }t
v.a.independientes con distribucion Normal(0,σ 2 ).
(a) Asumiendo que el ´ındice del tiempo esta dado por los enteros
. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , verifique las siguientes afirmaciones:

2
2

σ
(i) Paracada t, Xt ∼ Normal(0, 1−φ
2 ). ¿ Sucede lo mismo si {Xt } fuera
un proceso autoregresivo de orden p causal, con p > 1 ?

(ii) La distribuci´on conjunta del vector X =(Xt−1 , Xt ) es Normalmultivariada con vector de medias µ =(0, 0) y matriz de varianzas
covarianzas


2
2
Σ=



σ
1−φ2
σ2 φ
1−φ2

σ φ
1−φ2
σ2
1−φ2



(b) Asuma que el ´ındice del tiempo esta dado por los enteros 0, 1, 2, . . .,
es decir existe un valor inicial o´ un origen. En tal caso pruebe que el
proceso {Xt } no es estacionario de segundo orden.
Entonces, si el ´ındice del tiempo tiene un origen o punto inicial, la...