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3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables
3.1.1. Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendoconstante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:calculado suponiendoconstante.
Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.
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1. Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función

Solución:
Considerando como unaconstante, tenemos:
Considerando como una constante, tenemos:
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2. Dada la funcióndefinida por Halla y .

Solución:
Considerando como una constante, tenemos:
Considerando como una constante, tenemos:.
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3. Dada la función definida por Halla y .

Solución:



 
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4. Dada lafunción f definida por . Halla sus derivadas parciales en el punto P(1,1,1).

Solución:
Podemos elegir entre aplicar la definición de derivada en el punto P(1, 1, 1). o lo que es más fácil, calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos.



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5. Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:


Solución:
En este caso es másconveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.


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6. Prueba que la función f definida por satisface la ecuación:


Solución:
Hallamos las derivadas parciales.
;
Sustituimos las expresiones halladas en el primer miembro de laecuación y operamos:


3.1.2. Diferencial total y cálculo aproximado. Se llama incremento total de una función en un punto a la diferenciadondey son incrementos arbitrarios de los argumentos.
Se llama diferencial total de la función a la siguiente expresión (si la función es diferenciable)(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún significado).
Una función se dice que esdiferenciable en el punto si el siguiente límite existe y es cero.

Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si la función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si la función es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales y en ese punto.
(los recíprocos de estos teoremas no son ciertos).
Condiciones suficientes de diferenciabilidad: Silas derivadas parciales son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto, pero si las derivadas parciales no son continuas, entonces no podemos asegurar nada.
Cálculos aproximados: La diferencial de una función se puede puede utilizar como aproximación del incremento.
; 
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7. Calcula la diferencial total de la siguiente función:Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
;
Por consiguiente:

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8. estudia la continuidad y diferenciabilidad de la siguiente función el el origen.
si y 

Solución:
La función es continua y diferenciable en todo el plano, salvo, quizás, en el origen.
a) Continuidad:

luego la función es continua en el punto , y por consiguiente en todo el plano.b) Diferenciabilidad:
Hallamos las derivadas parciales en el origen aplicando la definición:


De donde,de ser diferenciable, su diferencial debería ser

hallamos el incremento de la función en el origen:

calculamos el límite que nos dice si es diferenciable:

Luego el límite no está definido, por depender de, y por lo tanto la función no es diferenciable en el origen.
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