examen de seghundo a



Nombre: _________________________________ Curso: ________



Ejercicio 1:

Halla la derivada de estas funciones:

Solución: Aplicamos las reglas de derivación
a) f '(x)  3(ex  x5)2 · (ex  5x4)

 
( 1 punto)


Ejercicio 2:
 
Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:
 Si x  1: f (x) es continua, pues está formadapor polinomios, que son funciones continuas.
 En x  1:

Para que f (x) sea continua en x  1, ha de tenerse que:


( 2 punto)


Ejercicio 3:
 Dada la función f (x  x2 1:
aEstudia su derivabilidad.
 
Solución: representamos la función que se trata de una parábola de vértice(0,-1)
Y después representamos la función en valor absoluto , observando su grafica vemosque es contínua en todos los numeros reales y que no es derivable en los puntos (1,0) y (-1,0) su funcion derivada es


( 1 punto)



Ejercicio 4:
 
Halla los máximos, mínimos ypuntos de inflexión de la función:
f (x)3x2 (x  3)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Solución: se trata de una función polinómica y por tanto continua y derivable en todo R Primera derivada:
f (x)3x3  9x2
f '(x)  9x2  18x  9x (x  2)

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (, 0)  (2, ); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 0) y unmínimo en (2, 12).
 Segunda derivada:
f ''(x)  18x  18
f ''(x)  0  18x  18  0  x  1
Signo de f ''(x):

f (x) es convexa en ( , 1) y es cóncava en (1, ). Tiene un punto deinflexión en
(1, 6).

( 2 punto)


Ejercicio 5:
Representa la función:

Solución:
 Dominio  

 Ramas infinitas:

 Puntos singulares, posibles máximos y mínimos :


Puntossingulares: (0, 0) y (2, 4)
 Cortes con los ejes:
 Con el eje Y  x  0  y 0  Punto (0, 0)

 Puntos de inflexión:
f ''(x) 9x2  12x 3x (3x  4)

 Gráfica:



( 3 punto)...