examen resuelto 4 eso

IES ATENEA. 1er CONTROL. MATEMÁTICAS B. 4º ESO. GRUPO: BC

Nombre: ________________________________________________________
Evaluación: Tercera.

Fecha: 30 de abril de 2010

NOTA

Ejercicio nº 1.- Calcula m para que los puntos R (5 , − 2) , S ( −1 , 1) y T (2 , m) estén
alineados.
1 punto

Ejercicio nº 2.- Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A ( −3, 4) y
B (5, − 1) en todas sus formas: continua, punto-pendiente, explícita y general. Comprueba si
el punto C ( −1 , 3) pertenece a la recta.
1,5 puntos

Ejercicio nº 3.- Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) Recta r1 que es paralela a s : 2x + y − 7 = 0 y pasa por el punto P (9 , − 5 / 2) .
b) Recta r2 que es perpendicular a t : 8x − 3y + 6 = 0 y pasa por el punto Q ( −3, 2) .
1,5 puntosEjercicio nº 4.- En el triángulo de vértices A (−3, 1) , B (1 , 5) y C ( 4 , 0) , hallar:
a)

La ecuación de la recta h sobre la que se apoya la altura trazada desde el vértice B.

b)

La ecuación de la mediatriz m del lado AB.
2 puntos

Ejercicio nº 5.- a) Halla la ecuación de la circunferencia de diámetro PQ, siendo P ( −5 , 2)
y Q (3, − 6) .
b) Calcula k para que el punto (−3,k) pertenezca a la circunferencia de ecuación

c ≡ (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 25
2 puntos

Ejercicio nº 6.- Dada la recta de ecuación r ≡ 2x − y + 1 = 0 y el punto A (6 , − 2) , calcula:
a) La ecuación de la recta s que pasa por el punto A (6 , − 2) y es paralela a r.
b) La ecuación de la recta t que pasa por el punto A (6 , − 2) y es perpendicular a r.
c) El punto M de intersección entre r yt.
d) El punto simétrico de A respecto de M.
2 puntos

Examen de Geometría Analítica. Matemáticas B. 4º ESO. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes.

SOLUCIONES
E.1. Calcula m para que los puntos R (5, − 2) , S( −1,1) y T (2, m) estén alineados.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Cuando los tres puntos están alineados, lostriángulos son semejantes y se cumple:
S

1−m
2 − ( −1)
1−m 3
=
⇒
= ⇒
m − ( −2)
5 −2
m+2 3
⇒ m + 2 = 1 − m ⇒ 2m = −1 ⇒ m = −

T

1
2

También podríamos haber utilizado el
triángulo de vértices S, R y P( −1, − 2) ,

R

pues también es semejante a los de la
figura.
E.2. Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A( −3, 4) y B(5, − 1) en todas
sus formas:continua, punto-pendiente, explícita y general. Comprueba si el punto C ( −1,3)
pertenece a la recta.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Comenzamos calculando la ecuación de la recta en forma continua:

r≡

x − x1
x2 − x1

=

y − y1
y2 − y1

⇒r≡

y−4
x+3 y −4
x − ( −3)
=
=
⇒r≡
→ Ecuación continua
5 − ( −3) −1 −4
8
−5

Ahora calculamos la pendiente de la recta y su ecuación en forma de punto-pendiente:

m=

5
−1 − 4
5
= − ⇒ r ≡ y − 4 = − ⋅ (x + 3) → Ecuación en forma de punto-pendiente
5 − ( −3)
8
8

Despejando y obtenemos la ecuación explícita:

r ≡ y−4 =−

5
17
5
5
15
⋅ (x + 3) ⇒ r ≡ y = − ⋅ x −
+ 4 ⇒ r ≡ y = − ⋅x +
→ Ecuación explícita
8
8
8
8
8

Multiplicando por 8,y colocando los términos, obtenemos la ecuación general de la recta:

r ≡ 8y = −5x + 17 ⇒ r ≡ 5x + 8y − 17 = 0 → Ecuación general
Nos queda comprobar si el punto C ( −1 , 3) pertenece a la recta r. Para ello sustituimos sus
coordenadas, por ejemplo, en la ecuación general:

5 ⋅ ( −1) + 8 ⋅ 3 − 17 = −5 + 24 − 17 = 2 ≠ 0 ⇒ C ( −1,3) ∉ r .
E.3. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:a) Recta r1 que es paralela a s : 2x + y − 7 = 0 y pasa por el punto P(9, − 5 / 2) .
b) Recta r2 que es perpendicular a t : 8x − 3y + 6 = 0 y pasa por el punto Q ( −3,2) .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------a)

r s ⇒ r ≡ 2x + y + c = 0 ; P(9, − 5 / 2) ∈ r ⇒ 2 ⋅ 9 −
1
1
1

5
31
31
+c = 0 ⇒
+c = 0 ⇒ c = −
⇒
2
2
2...