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Versión Actualizada al: 12 de julio de 2004

CAPÍTULO IV
Proceso de Bernoulli
Experimento de Bernoulli
Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. Auno de los resultados
se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El experimento de
Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de "éxito").
Veamos el ejemplo siguiente:
Ejemplo
Si voy a tirar un dado, y lo que voy a observar es si sale o no sale un 5, entonces
esto puede ser visto como un experimento de Bernoulli constituido así:
• Éxito: que salga un 5
• Fracaso: queno salga un 5
• Probabilidad de éxito: p = 1/6
• Probabilidad de fracaso: q = 1-p = 5/6
En ese ejemplo vemos que llamamos "éxito" a que salga un 5, porque justamente
estábamos observando si iba a salir o no un 5. El hecho de llamar a algo "éxito" o
"fracaso" no tiene nada que ver con que sea "bueno" o "malo" respectivamente,
sino con el hecho de que haya dado positiva o negativa la observaciónque
queríamos hacer.
Como vimos, p es la probabilidad de éxito, es decir, la probabilidad de que se
cumpla la condición que queríamos observar. Y la probabilidad de fracaso, es
decir, de no-éxito, 1-p, a menudo se encuentra escrita como q.

Proceso de Bernoulli
Consiste en hacer n veces un experimento de Bernoulli, teniendo en cuenta:
• que las condiciones no varían. (Ejemplo: la moneda que arrojo nveces
sigue siendo la misma y no se deforma). Es decir, que la probabilidad p de
obtener un éxito en la 5ta vez es la misma que la de obtener un éxito en la 8va
vez.

• que cada uno de los experimentos es independiente (Ejemplo: que haya
salido cara en la 5ta vez que tiré la moneda, no me afecta lo que salga en la
8va vez).
Se definen las siguientes variables:
• n : la cantidad de veces que sehace el experimento
• p : la probabilidad de que un experimento arroje éxito.
• k : la cantidad de veces que se obtiene éxito en las n veces que se hace el
experimento.
Ejemplo
Si arrojo una moneda 8 veces, con probabilidad 0,5 de que salga cara
(considerando cara como éxito) y sale cara 5 veces, tengo:
•n=8
• p = 0,5
•k=5
Generalmente conocemos el valor de p, y entonces nos preguntamos cuántoséxitos
obtendremos haciendo el experimento una determinada cantidad de veces, o
cuántas veces tendremos que hacer el experimento para obtener una determinada
cantidad de éxitos.
De esta forma obtenemos 2 distribuciones:
• Binomial: consiste en preguntar por la cantidad de éxitos en n veces. Es decir,
dado n, calcular la distribución de k.
• Pascal: consiste en preguntar por la cantidad de vecesnecesarias para obtener k
éxitos. Es decir, dado k, calcular la distribución de n.
Y además:
• Geométrica: caso particular de Pascal cuando k = 1, es decir, consiste en
preguntar por la cantidad de veces necesarias para obtener el primer éxito.

Distribución Binomial
"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?"
Si
X:Bi (n ; p)
es decir: X es una variable binomial con parámetros n y pes decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n
experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito
p

 n  x
 . p .(1 − p) n−x 0 ≤ x ≤ n
P( X = x) =  x 


∀ otro x
0

entonces:

E(X) = n.p
σ2X = n.p.(1-p)
n es un número natural
p es un número real entre 0 y 1

Propiedades reproductivas
Si tenemos
• m variables X i
• Xi:Bi(ni,p)
•Xi independiente de X j para i ≠ j

Y=

∑
m

Xi

i =1

•
entonces:
• Y:Bi(nY,p)

nY =

∑n
m

i =1

•

i

Es decir, la suma de m variables binomiales independientes cada una con igual p y
con su propio n resulta ser una variable binomial con el mismo p que las anteriores
y n dado por la suma de los n de las variables originales.

Estrategia
Sabemos que nos encontramos frente a la necesidad de...

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