Exploraciones de arquimides

INDICE


*PORTADA


*INTRODUCCIÓN


*INDICE


*DESARROLLO


*CONCLUSIONES PESONALES


*BIBLIOGRAFIA
CIBERGRAFIA





















INTRODUCCIÓN:

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas yvolúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.

Elconcepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones.

El cálculo de áreassencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al alumno a comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con aspectos prácticos del mismo. Ha de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir magnitudes a través de la medida deáreas.

















LAS EXPLORACIONES DE ARQUIMIDES Y EUDOXO PARA CALCULAR EL ÁREA DE UNA CURVA.























Arquímedes imprimió a sus obras una clara intención de calcular y medir. 
El teorema I de la Medida del círculo.
El área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferenciadel propio círculo.
Sea ABCD el círculo dado y K el triángulo descrito. Entonces, si el círculo no es igual a K, será mayor o menor.
1. Supongamos, si ello es posible, que el círculo sea mayor que K. Inscribamos un cuadrado ABCD y construyamos los puntos medios de los arcos AB, BC, CD, DA. Continuemos este proceso de bisección (si es necesario) hasta que los lados del polígono inscrito cuyosvértices son los puntos de división subtiendan segmentos circulares cuya suma sea menor que el exceso del área del círculo sobre K.
De esta manera, el área del polígono así obtenido será mayor que K. Sea AE un lado de éste y ON la perpendicular a AE desde el centro O. Entonces ON es menor que el radio del círculo y, por tanto, menor que uno de los catetos del triángulo K. También el perímetro delpolígono es menor que la circunferencia del círculo, esto es, menor que el otro cateto. Consecuentemente, el área del polígono es menor que K; lo que se contradice con la hipótesis. Por tanto, el área del círculo no es mayor que K. Dejaremos a un lado la segunda parte del teorema, esto es, la demostración de que el área del círculo no es menor que K (para la que Arquímedes usa los polígonoscircunscritos).
Pero ¿cuál ha sido la vía del descubrimiento del teorema, oculta bajo la impecable demostración por el método de exhaución? Pensamos que Arquímedes pudo llegar al resultado mediante el uso heurístico, poco riguroso, de técnicas infinitesimales, «sumando» los infinitos triángulos isósceles de lados iguales al radio del círculo y de base un segmento infinitesimal que se confundiría con unarco infinitesimal de la circunferencia. Entonces el área sería igual a:

Arquímedes, situando este teorema al inicio de su tratado, hace un «guiño» al tema de la cuadratura del círculo. Al conseguir la equivalencia entre un círculo y un triángulo parecería resuelto el famoso y difícil problema; pero el triángulo K no es construible con regla y compás, pues uno de los catetos es justamente la...