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Páginas: 8 (1896 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2013
EJERCICIOS DE FORMAS DE ONDA y DESARROLLOS EN SERIE DE FOURIER.
EJERCICIO 1.- Hallar el valor eficaz, Y, de las formas de onda representadas en la figura.
RESOLUCIÓN:
Los valores eficaces de las tres formas de onda son iguales. Para la segunda forma de onda se tiene que:
x
y ( t )= Y m t
T
2
Y =
1
T
T
2
2
3 T
Ym 2
Ym t
∫ T2 t d t= T3 [ 3
0
2
] = Y3m
0Y = Y m = 0,577 Y m
3
EJERCICIO 2.- Hallar el valor medio y el valor eficaz de una onda sinusoidal alternada no simétrica de período 2π.
RESOLUCIÓN:
Sea la onda sinusoidal alternada no simétrica de la figura
La función de onda vendrá dada por:
y ( t ) = Y 0 + Y m x sen ω t
El valor medio se obtendrá como:
Y med =
2π
1
2π
∫ (Y
0
+ Y m x sen ω t ) dt =
0
1Y 0 2 π Y med = Y 0
2π
El valor eficaz se calcula como:
2
Y =
1
2π
2π
∫ (Y
0
+ Y m x sen ω t )2 dt
0
2π
1 2
ω t sen 2 ω t
2π
2
Y 0 2 π + 2 Y 0 Y m x ( - cos ω t )0 + Y max
Y =
2π
4
2
0
2
2
Y =
Y=
1
2π
2
2
2 π Y0 + 2 Ym x
2π
2
Y0 +
Ym x
2
2
EJERCICIO 3.- Hallar el valor eficaz de laonda representada en la figura.
RESOLUCIÓN:
Por tratarse de una función discontinua habrá que considerar el valor de dicha función en cada intervalo dentro del
período. Así se tiene que:
0 ≤ t ≤ 0,01 s
y (t) = 1.000 t
0,01 ≤ t 0,02 s
y (t) = 10
0,02 ≤ t ≤ 0,03 s
y (t) = 0
El valor eficaz vendrá dado por:
2
Y =
2
Y =
2
Y =
1
0,03
0,01
∫
2
10 d t
0,01
0,02
1.000 2 t 2 d t +
0
3
1
t
1.000 2
0,03
3
∫
0,01
0
0,01
0,02
+ 10 2 t
1
0,013
1.000 2 x
+ 10 2 x 0,01 = 44,4
0,03
3
Y = 6,67
EJERCICIO 4.- Calcular los valores medios y eficaces de las siguientes formas de onda, utilizando las correspondiente definiciones:
Onda cuadrada:
Ondarectificada:
Onda triangular:
Onda doblemente rectificada:
RESOLUCIÓN:
ONDA CUADRADA
La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:
y ( ω t )= Y m x 0 ≤ ω t ≤ π
y ( ω t )= - Y m x π ≤ ω t ≤ 2 π
la función tiene un período T = 2 π.
Valor medio:
Y med =
1
T
T
∫y (
ω t )d ω t
0
1
Y med =
2π
2π
π
∫ Y max d ω t - ∫ Y max d ω t
π 0
Y med = 0
Valor eficaz:
1
Y =
T
2
2
Y =
T
∫y
2
( ω t )d ω t
0
1
2π
2
2π
π 2
∫ Y max d ω t + ∫ Y 2 d ω t
max
π
0
Y max π - 0 + 2 π - π = 2
(
) Y max
Y =
2π
Y = Y max
2
Factor de amplitud:
F.A.= Y max = Y max = 1
Y
Y max
Factor de forma:
F.F.=
Y
= Y max = 1
Y med ( doblemente rectificada ) Y max
ONDATRIANGULAR
La función de onda, de la onda triangular, puede venir dada por:
ω t
y ( ω t ) = Y max
π
2
π
ω t
3π
≤ ωt ≤
y ( ω t ) = Y max 2 π
2
2
2
ω t
3π
≤ ωt ≤ 2 π y ( ω t ) = Y max
-4
2
π
2
π
0 ≤ ωt ≤
2
cuyo período es de: T = 2 π.
Valor medio:
1
Y med =
T
T
∫y(
ω t )d ω t
0
3π
π
2
2
ω t
1
ω t
Y med =
∫ Y max 2 d ω t + π∫ Y max 2 - π
2π 0
2
2
Y med = 0
2
Valor eficaz: Y =
1
T
T
∫y
2
d ω t +
ω t
∫π Y max π - 4
3
2
2
2π
d ω t
( ω t )d ω t
0
π
3π
2
2
2
ω t
1
ω t
2
2 d ω t + ∫ Y2 2 Y =
Y max
max
∫ 2
π
2π 0
π
2
2
Y
Y = max
3
2
2π
ω t
d ω t + ∫ Y2
-4
max
3π
π
2
2
2
d ω t
Factor de amplitud:
F.A.= Y max = Y max = 3
Y
Y max / 3
Factor de forma:
F.F.=
Y
/ 3
= Y max
= 1′ 15
Y med ( doblemente rectificada ) Y max / 2
ONDA...
EJERCICIO 1.- Hallar el valor eficaz, Y, de las formas de onda representadas en la figura.
RESOLUCIÓN:
Los valores eficaces de las tres formas de onda son iguales. Para la segunda forma de onda se tiene que:
x
y ( t )= Y m t
T
2
Y =
1
T
T
2
2
3 T
Ym 2
Ym t
∫ T2 t d t= T3 [ 3
0
2
] = Y3m
0Y = Y m = 0,577 Y m
3
EJERCICIO 2.- Hallar el valor medio y el valor eficaz de una onda sinusoidal alternada no simétrica de período 2π.
RESOLUCIÓN:
Sea la onda sinusoidal alternada no simétrica de la figura
La función de onda vendrá dada por:
y ( t ) = Y 0 + Y m x sen ω t
El valor medio se obtendrá como:
Y med =
2π
1
2π
∫ (Y
0
+ Y m x sen ω t ) dt =
0
1Y 0 2 π Y med = Y 0
2π
El valor eficaz se calcula como:
2
Y =
1
2π
2π
∫ (Y
0
+ Y m x sen ω t )2 dt
0
2π
1 2
ω t sen 2 ω t
2π
2
Y 0 2 π + 2 Y 0 Y m x ( - cos ω t )0 + Y max
Y =
2π
4
2
0
2
2
Y =
Y=
1
2π
2
2
2 π Y0 + 2 Ym x
2π
2
Y0 +
Ym x
2
2
EJERCICIO 3.- Hallar el valor eficaz de laonda representada en la figura.
RESOLUCIÓN:
Por tratarse de una función discontinua habrá que considerar el valor de dicha función en cada intervalo dentro del
período. Así se tiene que:
0 ≤ t ≤ 0,01 s
y (t) = 1.000 t
0,01 ≤ t 0,02 s
y (t) = 10
0,02 ≤ t ≤ 0,03 s
y (t) = 0
El valor eficaz vendrá dado por:
2
Y =
2
Y =
2
Y =
1
0,03
0,01
∫
2
10 d t
0,01
0,02
1.000 2 t 2 d t +
0
3
1
t
1.000 2
0,03
3
∫
0,01
0
0,01
0,02
+ 10 2 t
1
0,013
1.000 2 x
+ 10 2 x 0,01 = 44,4
0,03
3
Y = 6,67
EJERCICIO 4.- Calcular los valores medios y eficaces de las siguientes formas de onda, utilizando las correspondiente definiciones:
Onda cuadrada:
Ondarectificada:
Onda triangular:
Onda doblemente rectificada:
RESOLUCIÓN:
ONDA CUADRADA
La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:
y ( ω t )= Y m x 0 ≤ ω t ≤ π
y ( ω t )= - Y m x π ≤ ω t ≤ 2 π
la función tiene un período T = 2 π.
Valor medio:
Y med =
1
T
T
∫y (
ω t )d ω t
0
1
Y med =
2π
2π
π
∫ Y max d ω t - ∫ Y max d ω t
π 0
Y med = 0
Valor eficaz:
1
Y =
T
2
2
Y =
T
∫y
2
( ω t )d ω t
0
1
2π
2
2π
π 2
∫ Y max d ω t + ∫ Y 2 d ω t
max
π
0
Y max π - 0 + 2 π - π = 2
(
) Y max
Y =
2π
Y = Y max
2
Factor de amplitud:
F.A.= Y max = Y max = 1
Y
Y max
Factor de forma:
F.F.=
Y
= Y max = 1
Y med ( doblemente rectificada ) Y max
ONDATRIANGULAR
La función de onda, de la onda triangular, puede venir dada por:
ω t
y ( ω t ) = Y max
π
2
π
ω t
3π
≤ ωt ≤
y ( ω t ) = Y max 2 π
2
2
2
ω t
3π
≤ ωt ≤ 2 π y ( ω t ) = Y max
-4
2
π
2
π
0 ≤ ωt ≤
2
cuyo período es de: T = 2 π.
Valor medio:
1
Y med =
T
T
∫y(
ω t )d ω t
0
3π
π
2
2
ω t
1
ω t
Y med =
∫ Y max 2 d ω t + π∫ Y max 2 - π
2π 0
2
2
Y med = 0
2
Valor eficaz: Y =
1
T
T
∫y
2
d ω t +
ω t
∫π Y max π - 4
3
2
2
2π
d ω t
( ω t )d ω t
0
π
3π
2
2
2
ω t
1
ω t
2
2 d ω t + ∫ Y2 2 Y =
Y max
max
∫ 2
π
2π 0
π
2
2
Y
Y = max
3
2
2π
ω t
d ω t + ∫ Y2
-4
max
3π
π
2
2
2
d ω t
Factor de amplitud:
F.A.= Y max = Y max = 3
Y
Y max / 3
Factor de forma:
F.F.=
Y
/ 3
= Y max
= 1′ 15
Y med ( doblemente rectificada ) Y max / 2
ONDA...
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