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(M-11) Deducir el sen(α+β) y el cos(α+β)
Dadas las funciones (senα, cosα, senβ, cosβ), buscamos fórmulas que
enuncien el sen(α+β) y el cos(α+β). La primera de esas fórmulas seusa para calcular los puntos lagrangianos L4 y L5, aquí.

¡Verifique, por favor, cada cálculo antes de proseguir!
Como se muestra en el dibujo, para
deducir la fórmula combinamos dos
triángulosrectángulos
ABC que tiene un ángulo α
ACD "
"
" " β
El lado mayor ("hipotenusa') de ACD
es AD=R. Por consiguiente
DC = R sen β
AC = R cos β
De modo semejante
BC = AC sen α = R cos β sen α
AB =AC cos α = R cos βcos α
El triángulo ADF es rectángulo y tiene el ángulo (α+β) . Por lo tanto
R sen (α+β) = DF
R cos (α+β) = AF

Comenzamos deduciendo el seno:
R sen (α+β) = DF = EF + DE = BC +DE
Observe en el dibujo los dos ángulos enfrentados señalados con
líneas dobles: al igual que todos esos ángulos, deben ser iguales.
Cada uno es uno de los ángulos agudos de su triángulo rectángulo.Como los ángulos agudos de ese triángulos suman 90 grados, los
otros dos ángulos agudos deben ser iguales. Esto justifica el indicar el
ángulo cerca de D como a, como se dibuja en la figura.
En eltriángulo rectángulo CED

DE = DC cos α = R sen β cos α
EC = DC sen α = R sen β sen α
Anteriormente se presentó que
BC = R cos β sen α
AB = R cos β cos α
Por consiguiente
R sen (α+β) = BC+DE= R cos β sen α + R sen β cos α
Eliminando R y reacomodando α para que preceda β
sen (α+β) = cos β sen α + sen β cos α

Del mismo modo, para el coseno
R cos (α+β) = AF = AB – FB = AB – EC =
= Rcos β cos α – R sen β sen α
Eliminando R y reacomodando
cos (α+β) = cos β cos α – sen β sen α

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