final de algebra

Parte 1

Objetivo: racionalizar 

1) Racionalización de denominadores en los libros del secundario.
“Cuando el denominador de una fracción contiene una raíz no exacta (un número irracional) se lo puede racionalizar; esto significa, encontrar una fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea un numero racional”
Effenberger Pablo: Matemática 4-1er edición; Buenos Aires; Kapelusz,2012, pág. 22.

“Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto, siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales se debe hallar una fracción equivalente a la dada con denominador racional”
Matemática 1; Activa; Editorial Puerto De Palos; pág. 40.

“Racionalización de denominadores: muchas veces podemos hacerla eliminando los radicales deldenominador”
Bermán Andrea: Matemática IV, Reedición segunda edición, Buenos Aires; Santillana 2001, Pág. 18.

En la escuela secundaria se enseña a racionalizar expresiones que involucran expresiones de la forma apelando a la nocion de conjugado.

2) Conjugado según los libros del secundario:

Para los libros de secundario, la noción de conjugado es aplicar el producto de una suma de dostérminos por su diferencia: (a+b)(a-b)= a²-b², en el caso de que el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de raíces cuadradas.

Racionalizar :




Así la idea de conjugado está vinculada a la eliminación de raíces del denominador. Pero en este ejercicio también eliminaría los radicales en el denominador.




3) En no podemos aplicar el conjugado ya que los radicales no sonraíces cuadradas, tampoco es un binomio. Entonces no se puede limpiar el denominador con el método del conjugado
La idea es que el denominador de  solo contenga números Q. Entonces para simplificar, llamo:
α= α²= α³=5
Reescribo:
Se observa que α= equivale a α³=5, y equivale a α³-5=0, o sea que α es raíz de f(t)=t³-5 Q [t]. Usando que α es raíz de f(t), o sea α³=5.

4) Calcular:

a)= αα³ = = 5α
= α²α³ = = 5α²
= α³α³ = = 25
= α³α4 = = 25α

b)
7α3α³α²9α³αα =
175α²45α

c) =





Es posible reducir cada potencia de α, o sea de αn (nN) como una potencia de α0, α¹, α² usando las propiedades de la potencia de igual base de α .
Se puede expresar cualquier combinación con coeficiente en Q, teniendo en cuenta el agrupamiento de factores correspondientes.
Esteejercicio sugiere que cualquier expresión que involucra sumar o restar productos de números racionales y de α puede escribirse de la forma a+bα+cα² con a, b, c Q.
Así escribimos Q(α) = { a+bα+cα² :a, b, c Q}.
Como los elementos de Q pueden sumarse y multiplicarse se sugiere una estructura.


5) (Q(α),+,) es un anillo conmutativo. Q(α)= { a + bα+cα²: a, b, c Q}

(Q(α), +) es grupoabeliano.

I. Ley interna
(a + bα+cα²) + (d + eα+fα²) = (a+d) + (b+e) α+ (c+f)α²

II. Asociatividad
[(a + bα+cα²) + (d + eα+fα²)] + (g + hα+iα²)
[(a+d) + (b+e) α+ (c+f)α² ]+ (g + hα+iα²)
(a+d+g) + ( b+e+h)α + ( c+f+i)α²
(a + bα+cα²) + [ (d + eα+fα²)] + (g + hα+iα²)]
(a + bα+cα²) + [(d+g) + (e+h)α + (f+i)α²]
(a+d+g) + ( b+e+h)α+( c+f+i)α²

III. Elemento neutro:
(a + bα+cα²) + (0 + 0α+0α²)
a+0=aa=a
bα+0α= bαbα=bα
cα²+0α²= cα² cα²= cα²

= (a + bα+cα²) =




(0 + 0α+0α²) +(a + bα+cα²)
a= 0+aa=a
bα=0+bαbα=bα
cα²=0+cα²² cα²= cα²

IV. Elemento inverso:
(a + bα+cα²) + (-a + -bα+-cα²)
a-a=00=0
bα-bα=0α0α=0α
cα²-cα²=0α²0α²=0α²

= (0 + 0α+0α²) =




(-a + -bα+-cα²)+(a + bα+cα²)
0= -a+a0=0
0α = -bα+ bα0α=0
0α²= -cα²+cα²0α²=0α²

V. Conmutatividad:
(a + bα+cα²) + (d + eα+fα²)
a+d) + (b+e)α+ (c+f)α²

(d + eα+fα²)+(a + bα+cα²)
(d+a)+(e+b)α+(f+c)α²
Los elementos Q vale la conmutatividad.

(Q(α), ) es subgrupo abeliano.
VI. Ley interna:
(a + bα+cα²)(d + eα+fα²)=
ad+aeα+afα² + bdα+beα²+bfα³ + cdα²+ceα³+cfα4
ad + (ae+bd)α+(af+be+cd)α²+(bf+ce)α³+cfα4
[ad] + [(ae+bd)+(af+be+cd)α] α + [(bf+ce)α+cfα²]α2

VII. Asociatividad:

[(a + bα+cα²)(d + eα+fα²)]  (g + hα+ iα²)
ad +...