Fisica moderna

EJERCICIOS RESUELTOS DE RELATIVIDAD ESPECIAL, RELATIVIDAD GENERAL Y MECANICA CUÁNTICA
1) Relatividad Especial
La masa de Clark Kent es de 90 Kg y su estatura es de 1.9 m. Sabiendo que Superman vuela horizontalmente a 0.9c
a) Encuentre la estatura de Superman según Luisa Lane (obviamente v(Luisa) --> 0 )
b) Encuentre la "masa relativista" de Superman según Luisa Lane
c) Si para Supermantranscurren 10 s, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para Luisa?
d) Compare (c) con la situación de Clark Kent viajando horizontalmente en un avión comercial a 800 Km/h
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a)

b)
NOTA: La masa relativista sólo tiene sentido al vincularla con el momentum

c)
Así que los intervalos temporales de Superman se dilatan Un segundo de Superman dura 2.3 s de Luisad)
Luego:


2) MQ: Pozo de Potencial Impenetrable 1D
Sea una partícula de masa m dentro de un pozo impenetrable 1D de longitud L:

Encuentre el valor esperado de la posición de la partícula.
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I) La Ecuación de Schrödinger para arroja la autofunción
- La Ecuación de Schrödinger dentro del pozo (V = 0) es:

- Solución:


II) Condiciones deBorde:

Por lo tanto:

- Observemos que la mínima energía de la partícula no puede ser cero, sino:


III) Autofunción
- Por ahora:

- ¿Cuánto vale A? ---> Condición de normalización:

- Finalmente:


IV) Valor esperado de la posición:


3) Expansión Cosmológica

... Sabiendo que la rapidez de alejamiento de las galaxias por efecto de la expansión cosmológica es , encuentre larapidez con la que se aleja una galaxia que se encuentra a 1 Megaparsec de nosostros si el universo fuese plano
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4) Universos FRW
El radio de curvatura del universo satisface la siguiente ecuación diferencial:

Analice la evolución del universo si
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corresponde a la densidad de materia en eluniverso, de modo que: .
Luego, la ecuación diferencial puede escribirse como:

* Si se obtiene:
Este es un universo "hiperbólico"



*
Este es un universo "plano" (curvatura nula)



*
Este es un universo "esférico" (curvatura positiva)



En este último caso, la abundancia de materia en el universo es suficientemente alta como para frenar el Big Bang e "intentar" compactarlo enun punto por atracción gravitatoria.

5) Principio de Incertidumbre de Heissenberg (PIH)
Se desea visualizar un electrón del modo "convencional" (con luz). Para ello se dispara un fotón de longitud l, de modo que el observador detecta la posición del electrón por medio de la recepción del fotón reflejado en la "superficie" del electrón. Demuestre que la incerteza en la posición del electrónmultiplicado por la incerteza en el momentum del electrón satisface el PIH.
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El PIH es una característica intrínseca del mundo microscópico. Las variables físicas como la posición y el momentum están objetivamente indeterminados y sus incertezas no provienen de problemas tecnológicos asociados a los instrumentos de medición. La situación es al revés:según el Principio de Correspondencia, cuando los números cuánticos (como n, l y ml) son "grandes", el mundo cuántico se convierte en clásico. Luego, podemos entender clásicamente el PIH mediante "complicaciones" en el proceso de medición, teniendo presente que esas complicaciones provienen de incertezas objetivas (p ej: el electrón no está en una única posición, sino más bien está en todas lasposiciones posibles dentro de un rango )
- Sea un electrón al que se le dispara un fotón. El fotón se dispersará en un cono de luz caracterizado por un ángulo , de acuerdo con la siguiente figura:



- El observador recibirá un cono de luz (y no un rayo), el que cumplirá con la ley de difracción:



- Luego, la posición del electrón se indetermina en:
- Por otro lado, el fotón al golpear...