Fisisca

7. Teorema de Kennelly
En muchas ocasiones, dentro de los circuitos, se pueden conseguir
simplificaciones notables haciendo algunas transformaciones en los
mismos sin que sufran alteraciones. Se pueden sustituir elementos
que estén en serie, o en paralelo, por sus equivalentes.

A
IA
A
IAB

ZA

IA

ZAB

Muy interesante es el caso de la transformación estrella-triángulo yviceversa, conocido también como teorema de Kennelly o fórmulas
de Kennelly.

ZCA

N
ZC

ZB
IB

ICA
C

IB

B IBC
ZBC

IC

Consideremos los circuitos de la figura 2.36. Estas configuraciones
en estrella y en triángulo queremos hacerlas equivalentes, de tal
manera que si una de ellas la extraemos de una red y la sustituimos
por la otra no se modifica, en absoluto, la respuesta de lared.

IC

C

B

Para ello se deben satisfacer las dos condiciones siguientes: las
Fig. 2.36
intensidades I A , I B e I C han de ser idénticas en las dos configuraciones y también las tensiones V AB , V BC y V CA .
Aplicando la 1ª ley de Kirchhoff en los puntos A, B y C del triángulo:
I A = I AB − I CA
I B = I BC − I AB
I C = I CA − I BC

En cada rama del triángulo AB, BC y CA severifica:

I AB =

Con lo que obtenemos:

IA =

V AB
Z AB

I BC =

V AB V CA
−
Z AB Z CA

IB =

V BC
Z BC

I CA =

V BC V AB
−
Z BC Z AB

V CA
Z CA
IC =

V CA V BC
−
Z CA Z BC

Análogamente, en la configuración en estrella se puede expresar, en el nudo N:
IA + IB + IC =0

y entre las bornas:
V AB = Z A ⋅ I A − Z B ⋅ I B

V BC = Z B ⋅ I B − Z C ⋅ I C

V CA= Z C ⋅ I C − Z A ⋅ I A

que lo podemos escribir en forma de sistema de ecuaciones, para determinar, como incógnitas, las intensidades I A , I B e I C , tomando
la primera y dos de las otras:
0=

IA

+I B

V AB =

ZA ⋅IA

−Z B ⋅ I B

V BC =

+I C

ZB ⋅IB

−Z C ⋅ I C

que en forma matricial:
 0 1


V AB  =  Z A


V BC   0

1   I A
 
0  ⋅ IB

−Z C   I C 


1
−Z B
ZB

en la que el determinante de la matriz impedancia será:
1

1

∆Z = Z A
0

−Z B
ZB

1
0

= ZB ⋅ZC + Z A ⋅ZB + Z A ⋅ZC

−Z C

con lo que los valores de las intensidades serán:
0

IA =

1

V AB

−Z B
ZB
∆Z

−Z C

0

1

V BC

1

1
0
=

(

)

V AB + V BC ⋅ Z B + V AB ⋅ Z C
V AB ⋅ Z B + V BC ⋅ Z B + V AB ⋅ Z CV AB ⋅ Z C − V CA ⋅ Z B
=
=
∆Z
∆Z
ZB ⋅ZC + Z A ⋅ZB + Z A ⋅ZC

0
Z A V AB
0 V BC − Z C −V AB ⋅ Z C + V BC ⋅ Z A
V BC ⋅ Z A − V AB ⋅ Z C
IB =
=
=
∆Z
∆Z
ZB ⋅ZC + Z A ⋅ZB + Z A ⋅ZC

1

IC =

1

0

− Z B V AB
Z B V BC −V BC ⋅ Z B − V AB ⋅ Z B − V BC ⋅ Z A − V AB + V BC ⋅ Z B − V BC ⋅ Z A
V CA ⋅ Z B − V BC ⋅ Z A
=
=
=
∆Z
∆Z
∆Z
ZB ⋅ZC + ZA ⋅ZB + ZA ⋅ZC

ZA
0

()

Si comparamos estos valores obtenidos con los de la configuración en el triángulo, tendremos:
1

I A = V AB ⋅

Z AB
1

I B = V BC ⋅
I C = V CA ⋅

Z BC
1
Z CA

− V CA ⋅
− V AB ⋅
− V BC ⋅

1

ZC
ZB
− V CA ⋅
Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC
Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC

= V AB ⋅

Z CA
1

ZA

= V BC ⋅

Z AB
1

= V CA ⋅

Z BC

Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + ZA ⋅ ZC

− V AB ⋅

ZC
Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC

ZB
ZA
− V BC ⋅
Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ ZB + Z A ⋅ ZC
Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC

Con lo que podemos afirmar que:
Z AB =

Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC
ZC

Z BC =

Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC
ZA

Z CA =

Z B ⋅ ZC + Z A ⋅ Z B + Z A ⋅ ZC
ZB

manteniendose las corrientes y las tensiones en las dos configuraciones,estrella y triángulo.
Si tuviéramos que utilizar las admitancias:
1
Y AB =

1
YB ⋅ YC

+

YC
1
Y A ⋅YB

1
+

=

1
Y A ⋅ YC

Y A ⋅YB
YC
=
Y A + Y B + YC Y A + Y B + YC
Y A ⋅ Y B ⋅ YC

1
Y BC =

1
Y B ⋅YC

+

YA
1
Y A ⋅YB

1
+

1
Y A ⋅YC

Y B ⋅YC
YA
=
=
Y A + Y B + YC Y A + Y B + YC
Y A ⋅Y B ⋅YC

1
Y CA =

1
Y B ⋅YC

+

YB
1
YA ⋅YB...