Fluidos

MECÁNICA DE FLUIDOS


1.- Determinar la variación de la altura del nivel del líquido en el depósito troncocónico de la figura en función del tiempo. Se conocen las dimensiones del depósito y las secciones de los dos conductos de salida de fluido. Como primera aproximación, considerar los coeficientes de descarga como la unidad. Fluido incomprensible.

Primeramente, debemos evaluar los datosque nos proporciona el enunciado con atención. Así pues, de acuerdo con el mismo los parámetros del problema conocidos son los siguientes:
* Dimensiones del depósito troncocónico
* Secciones de los conductos de salida del líquido, que denominaremos S1 y S2.
* Coeficientes de descarga unitarios: CD=1
* El líquido es un fluido incompresible
Este último dato nos conduce a laconclusión inmediata de que si es incompresible la densidad del mismo ha de ser, necesariamente, constante a lo largo del tiempo.
ρ=constante
El siguiente paso se trata de seleccionar el volumen de control (∀C) sobre el cual trabajaremos. Tal como hemos resaltado en la figura nuestro volumen de control será el mismo líquido.
Una vez hecho esto podemos abordar el problema que nos sugiere el enunciado.Para hallar la variación de la altura del nivel del líquido problema del depósito en función del tiempo hemos de recurrir inmediatamente a una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, la ecuación de continuidad de la masa, que se define de forma genérica de la siguiente manera
ddtρd∀∀C+ρvrdsSC=0
Imponiendo las condiciones de nuestro problema y derivando el primer términocorrectamente nos queda la siguiente expresión
∀dρdt+ρd∀dt+ρv1ds1S1+ρv2ds2S2=0
Como podemos ver, esta será ya la ecuación sobre la que debemos trabajar, sustituyendo la integral circular del sistema de control por las dos salidas del líquido del depósito troncocónico que caracteriza nuestro problema.
Ahora que la tenemos planteada podemos ver si alguno de los términos que contiene se simplifica oanula dependiendo de las condiciones impuestas por el problema y que antes hemos identificado.
El fluido que contiene el depósito es incompresible, por lo que la densidad será constante ergo el primer término de la ecuación planteada se anulará.
fluido icompresible → ρ=constante → ∀dρdt=0
Así pues, integrando la ecuación respecto de la sección de los orificios de salidadel fluido y eliminando el término argumentado, la ecuación resultante nos queda
ρd∀dt+ρv1S1+ρv2S2=0 (1)
Haciendo un pequeño cambio, podemos expresar esta ecuación en términos de cabal másico.
m=ρvS → ρd∀dt+m1+m2=0
Esto solo nos es útil a modo de curiosidad, pues esta forma no es la más adecuada para alcanzar el objetivo planteado porel enunciado. Así que volveremos a la expresión inmediatamente anterior a ésta (1).
Para dejar la ecuación en función de la altura y no del volumen, tal como tenemos actualmente, hemos de realizar algunos cambios de variable de acuerdo con el esquema de la figura adjunta.
r
d∀=πr2dhR'=h·tg(α)r=R+R'=R+h·tg(α) → d∀=πR+h·tg(α)2dh

h

R'
Sutituyendo este cambio hallado laexpresión (1) nos queda
h=0
S2
α
ρπR+h·tg(α)2dhdt+ρv1S1+ρv2S2=0 (2)
S1
Ahora, el problema que se nos plantea es poner la velocidad en función de la altura del depósito troncocónico.
Para lograr esta meta, utilizaremos otra de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, la ecuación de Bernoulli.
salida
entrada
∀C
Esta ecuación la presentaremos en formagenérica y la desarrollaremos hasta obtener una velocidad en función de la altura. Así pues, partiremos de un volumen de control genérico para proceder de manera correcta y, una vez hallada la expresión que deseamos, podremos particularizarla para las velocidades de salida de nuestro problema.

Pentradaρ+ventrada22+gzentrada=Psalidaρ+vsalida22+gzsalida
Trabajando con presiones relativas...