flujo de fluidos

Flujodefluidos
Muchos problemas importantes en din´amica de fluidos se resuelven mediante m´etodos
de variable compleja, con las siguientes suposiciones:
1— El flujo de fluido es bidimensional, es decir, el modelo del flujo y las caracter´ısticas
del movimiento del fluido en un plano, son esencialmente las mismas en todo plano
paralelo. Esto permite confinar nuestra atenci´on no m´as que aun plano simple, el
cual tomamos igual al plano z (o plano (x, y)), en donde las figuras construidas en este
plano se interpretan como secciones transversales de “cilindros infinitos” perpendiculares
al plano (x, y). Un cilindro infinito no es nada m´as que un modelo matem´atico
de un cilindro f´ısico el cual es tan largo, que los efectos lejanos se pueden despreciar
razonablemente.
2— Elflujo es estacionario (o uniforme), o sea, la velocidad del fluido en un punto,
depende solamente de la posici´on y no depende del tiempo.
3— Las componentes de la velocidad se derivan de un potencial, es decir, si
V x y V y denotan las componentes de la velocidad V del fluido en (x, y) en las direcciones
x e y positivas respectivamente, existe una funci´on Φ, que se llama la velocidadpotencial, tal que:
V x =
∂Φ
∂x
, Vy =
∂Φ
∂y
(es lo mismo que decir que (V x, V y) es un campo de gradientes).
4— El fluido es incompresible, es decir, si C es una curva simple cerrada en el plano
(x, y), la cantidad de fluido contenido dentro de C es constante (la cantidad de fluido
que entra a C es igual a la cantidad de fluido que sale de C).
2 An´alisis III B - Turno ma˜nana
5- El fluido esno viscoso, es decir, no tiene viscosidad o fricci´on interna. Un fluido
que es no viscoso e incompresible, se llama fluido ideal y es un modelo matem´atico de
un fluido real, en el cual los efectos de viscosidad y fricci´on interna son despreciables.
Consideremos el rect´angulo formado por los puntos (x, y) y (x+Δx, y+Δy) de la
figura anterior. Si Δy es chico puedo suponer que V es constantey la cantidad de
fluido que pasa a trav´es del segmento formado por (x, y) y (x, y+Δy) es el ´area del
paralelogramo que forma este segmento con el vector V. Esta ´area mide V x(x, y)Δy.
Si Δx es chico, la cantidad de fluido que sale por el segmento formado por (x+Δx, y)
y (x+Δx, y+Δy) mide V x(x+Δx, y)Δy. Restando uno a otro, tenemos la raz´on de
p´erdida de flujo entre ambos lados:
Ã
Vx(x+Δx, y)−V x(x, y)
Δx
!
ΔxΔy ≈
∂V x
∂x
(x, y)ΔxΔy = Φxx(x, y)ΔxΔy (1)
An´alogamente, la raz´on de p´erdida de flujo entre los otros dos lados es
Ã
V y(x, y+Δy)−V y(x, y)
Δy
!
ΔyΔx ≈
∂V y
∂y
(x, y)ΔxΔy = Φyy(x, y)ΔxΔy (2)
Como el flujo s´olo entra y sale por estos cuatro lados, entonces sumando (1) y (2)
tenemos
Φxx(x, y) + Φyy(x, y) = 0
es decir, Φ satisface la ecuaci´on deLaplace.
1.1 El Potencial Complejo
Como la velocidad potencial Φ es una funci´on arm´onica, e int(C) es un conjunto
simplemente conexo, se deduce que debe existir una funci´on Ψ arm´onica conjugada
de Φ, tal que la funci´on
Ω(z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y)
es holomorfa en C. Esta funci´on Ω, de fundamental importancia en la caracterizaci´on
de un flujo, se llama potencial complejo. Por derivaci´ontenemos
dΩ
dz
= Ω0(z) = Φx(x, y) + iΨx(x, y) = Φx(x, y) − iΦy(x, y) = V x − iV y
Siendo as´ı, la velocidad est´a dada por
An´alisis III B - Turno ma˜nana 3
V (z)=V x(x, y) + iV y(x, y) = Ω0(z) se llama la velocidad compleja, y
V =kV (z)k=
q
(V x)2+(V y)2 =|Ω0(z)|=|Ω0(z)| es la magnitud de la velocidad compleja.
1.2 L´ıneas y Trayectorias Equipotenciales
La familia de curvas Φ(x, y) = α(α=cte.) (curvas de nivel de Φ) se llaman curvas
equipotenciales. La familia de curvas Ψ(x, y)=β (β=cte.) (curvas de nivel de Ψ) se
llaman curvas de corriente, o l´ıneas de corriente, o trayectorias.
Φ se llama funci´on velocidad potencial
Ψ se llama funci´on de corriente
Obs: Como Φ y Ψ son arm´onicas conjugadas se tiene que ∇Φ⊥∇Ψ, luego, las curvas
equipotenciales y las curvas de corriente...