flujo laminar y turbulento

CAP´
ITULO

2

´
EJERCICIOS RESUELTOS: ARITMETICA DE ORDENADORES Y
´
ANALISIS DE ERRORES

Ejercicios resueltos
u
Ejercicios 2.1 Calcula la suma y la resta de los n´meros a = 0.4523 · 104 , y b = 0.2115 · 10−3 ,
con una aritm´tica flotante con mantisa de cuatro d´
e
ıgitos decimales, es decir, una aritm´tica de
e
cuatro d´
ıgitos de precisi´n. ¿Se produce alguna diferenciacancelativa?
o
Soluci´n. El c´lculo es f´cil y directo
o
a
a
fl(a + b) = 0.4523 · 104 + 0.000 2115 · 100
= 0.4523 · 104 + 0.0000 000 2115 · 104 = 0.4523 · 104 ,
fl(a − b) = 0.4523 · 104 .
Estos c´lculos muestran claramente la p´rdida de d´
a
e
ıgitos significativos en las operaciones de
suma y resta en punto flotante. Observamos que en el caso de la resta no se ha producido una
diferenciacancelativa, ya que el resultado tiene una exactitud igual a la precisi´n (4 d´
o
ıgitos) de
la aritm´tica usada.
e
Ejercicios 2.2 Usando aritm´tica de cuatro d´
e
ıgitos de precisi´n, sume la siguiente expresi´n
o
o
0.1025 · 104 + (−0.9123) · 103 + (−0.9663) · 102 + (−0.9315) · 101
tanto ordenando los n´meros de mayor a menor (en valor absoluto), como de menor a mayor.
u
¿Cu´l de lasdos posibilidades es m´s exacta? Justifique los resultados que encuentre.
a
a

2

Cap´
ıtulo 2. EJERCICIOS RESUELTOS: Aritm´tica de ordenadores y an´lisis de errores
e
a

Soluci´n. La suma exacta sE es
o
sE = 1025 − 912.3 − 96.63 − 9.315 = 6.755 .
Nuestra experiencia en ex´menes nos ha mostrado que algunos alumnos contestan este ejera
cicio de forma incorrecta. Para sumar en orden demayor a menor, que es el que aparece
originalmente en dicha suma, primero igualan los exponentes de los n´meros al mayor de ellos,
u
s = 0.1025 · 104 − 0.09123 · 104 − 0.009663 · 104 − 0.0009315 · 104 ,
donde los d´
ıgitos subrayados no entran dentro de la mantisa, por lo que los redondean,
s = 0.1025 · 104 − 0.0912 · 104 − 0.0097 · 104 − 0.0009 · 104 .
y finalmente los suman con aritm´ticaexacta obtendremos s = 0.0007 · 104 . Obviamente, esta
e
respuesta es incorrecta ya que un ordenador realiza cada operaci´n de forma separada, igualando
o
exponentes y normalizando el resultado en cada paso. La propiedad asociativa de la suma no se
cumple para la aritm´tica flotante.
e
La respuesta correcta requiere evaluar con el orden
(((0.1025 · 104 + (−0.9123) · 103 ) + (−0.9663) · 102) + (−0.9315) · 101 ),
y se obtiene mejor paso a paso como sigue
s1 = 0.1025 · 104 ,
s2 = s1 − 0.0912 · 104 = 0.0113 · 104 = 0.1130 · 103 ,
s3 = s2 − 0.09663 · 103 = 0.1130 · 103 − 0.0966 · 103
= 0.0164 · 103 = 0.1640 · 102 ,
s4 = s3 − 0.09315 · 102 = 0.1640 · 102 − 0.0932 · 102
= 0.0708 · 102 = 0.7080 · 101 = 7.080.
El error relativo cometido sumando estos n´meros de mayor a menor es
us4 − sE
7.080 − 6.755
=
= 0.048 ≈ 5%.
sE
6.755
Si sumamos en orden de menor a mayor (en valor absoluto),
(((−0.9315) · 101 + (−0.9663) · 102 ) + (−0.9123) · 103 ) + 0.1025 · 104 ,

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obtenemos, paso a paso,
s1 = −0.9315 · 101 ,
s2 = s1 − 0.9663 · 102 = −0.09315 · 102 − 0.9663 · 102
≈ −0.0932 · 102 − 0.9663 · 102 = −1.0595 · 102 = −0.1060 · 103 ,
s3 = s2 − 0.9123 · 103 = −0.1060 ·103 − 0.9123 · 103
= −1.0183 · 103 = −0.1018 · 104 ,
s4 = s3 + 0.1025 · 104 = −0.1018 · 104 + 0.1025 · 104
= 0.0007 · 104 = 0.7000 · 101 = 7.
El error relativo cometido sumando los n´meros de menor a mayor es
u
7 − 6.755
s4 − sE
=
= 0.036 ≈ 4%,
sE
6.755
que es algo menor que el obtenido sumando los n´meros en el orden original (de mayor a menor).
u
Hemos observado que sumar losn´meros de menor a mayor, en valor absoluto, conduce a
u
una respuesta m´s exacta. Un an´lisis de error de la suma nos indica que para sumar n´meros,
a
a
u
todos del mismo signo, conviene hacerlo orden´ndolos de menor a mayor m´dulo, ya que ello
a
o
reduce la cota del error progresivo del resultado. En nuestro caso hemos observado que incluso
cuando casi todos los sumandos son del mismo...