Formulas De Integracion

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco",etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.
[pic]
 Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos [pic] a la variación de f cuando x varía de [pic] a [pic] y [pic] a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x; podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, [pic][pic].
Podemosexpresar a [pic] en términos de h y el ángulo [pic] que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:
[pic]

[pic]
En virtud de que [pic]RT es un aproximado de la DIFERENCIA [pic]f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL de f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,[pic]
Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:
[pic]
que también lo podemos expresar como:
[pic]
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:
a) El diferencial de [pic] en [pic] es [pic]
b) El diferencial de [pic]en[pic]es [pic]
c) Eldiferencial de [pic] en [pic] es [pic]
En el caso de la función identidad [pic], como [pic] para todo [pic], su diferencial nos queda como [pic] o bien [pic]
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:
[pic]
Esta expresión nos dice que “la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variaciónde su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión”.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación [pic] para [pic] y h dados, y la compararemos con el diferencial.

Ejemplo: Verifique que:
a) Para [pic] se cumple que [pic] en [pic] = 1 y h = 0.1
Solución:
[pic]
[pic]
La variación real difiereaproximadamente en una centésima.
Observación: El punto [pic] es un punto cercano a[pic], que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.
b) Para f(x) = x2 se cumple que [pic] f [pic] df en xo = 1 y h = -0.1
Solución: [pic]
[pic]
La variación real difiere de la aproximadaen una centésima.
c) Para [pic] se cumple que [pic] en [pic] y h = 0.006
Solución:
[pic]
[pic]
La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas
d) Para [pic] se cumple que [pic] en [pic] y h = 0.2
Solución: [pic]
[pic]
La variación real difiere de la aproximada en una diezmilésima.
e) Para [pic] se cumple que [pic] en [pic] y h = 0.2Solución:
[pic]
[pic]
La variación real difiere de la aproximada en cuatro millonésimas.
Para [pic] se cumple que [pic] en [pic] , h= 0.1
Solución: [pic]
[pic]
La variación real difiere de la aproximada en cinco milésimas.

Observación: En todos los ejemplos anteriores comprobamos que [pic] en el punto e incremento dados, sin embargo tanto [pic]f como df son muy pequeños, casi iguales a...