Fracciones Pa

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Introducción a las fracciones parciales
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamentemayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma \int\frac{P(x)}{Q(x)}\;dx donde:
* P(x) y Q(x) son polinómios
* El grado de P(x) esmenor que el de Q(x)
NOTA
* Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
* En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresaesa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.
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Caso I (Factores Lineales Distintos)
En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.Q(x)=(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})(a_{3}x+b_{3})...(a_{n}x+b_{n}) a y b son constantes, proponer:
\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}\;+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+\dots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}} \tag{1}
Encontrar A_{1}, A_{2}, A_{n}
Ejemplo Caso I
Sea f(x)=\frac{1}{x^2+x-6}
Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=\frac{1}{(x+3)(x-2)}
Tenemos entonces dos factoreslineales no repetidos usamos el caso I para escribir \frac{1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}
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Caso II (Factores Lineales Repetidos)
Suponga que el primer factor lineal (a_1x+b_1) se repite r veces; es decir, (a_1x+b_1)^r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple \frac{A_1}{a_1x+b_1} en (1), seusaría \frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{(a_1x+b_1)^2}+\dots+\frac{A_r}{(a_1x+b_1)^r } \tag{2}

Ejemplo caso II
Si tenemos f(x)=\frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)} 
en el denominador Q(x)=(x+1)^3(x-1)(x-2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x-3)^3, x-1 y x-2
* Para (x-1) y (x-2) usamos el caso I entonces escribimos \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}
* Para (x+1)^3 usamos el casoII entonces escribimos \frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}
Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, \frac{2x+1}{(x+1)^3(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{(x+1)^3}
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Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)
Si Q(x) tiene un factor de la forma ax^2+bx+c, donde b^2-4ac<0 (esto nosdice que no se puede expresar ax^2+bx+c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para \frac{P(x)}{Q(x)} tendrá un término de la forma \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}
Ejemplo Caso III
Sea f(x)=\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)} podemos notar que x^2+1 es una cuadrática irreducible ya que susolución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma \frac{Ax+B}{x^2+1} y para el factor (x+1)^2 escribimos las fracciones \frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2} Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)
\frac{x}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}
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Caso...