Fractales

CAPÍTULO I

CONCEPTOS GENERALES

1.1 Concepto

El termino fractal está relacionado con la palabra fractus que significa roto o no entero. Este término es atribuible a Benoit Mandelbrot quien lo empleo para definir ciertos conjuntos de números que describen objetos con dimensión fraccionaria. Para ello tuvo en cuenta la obra de Julia, Fatou, Hausdorff y Lebesgue.

La matemáticaentre otras cosas, trata de modelar, a través de la geometría euclidiana, los fenómenos naturales cuyas formas y dimensiones se pueden percibir directamente,. Sin embrago, existen muchos aspectos de los mismos que no pueden ser representados por estos modelos. Esto requiere de una nueva geometría fractal o de la naturaleza.

“El nombre de fractal procede de que estudia conjuntos de puntos para loscuales se puede definir, de cierta manera, una dimensión fraccionaria, dimensión que permite medir el grado de complejidad del conjunto, variando desde las curvas corrientes de dimensión uno, hasta curvas que llenan aéreas del plano, de dimensión dos”(Luis Santaló, 1992, p.6).

Los fractales son formaciones gráficas que muestran procesos iterativos que tienen una característica en común: repitenprocesos infinitos. Por lo tanto podemos concebir una construcción fractal como una figura autosemejante, es decir, todas sus partes tienen repeticiones a diferentes escalas, por ejemplo, la hoja de un helecho, la copa de los árboles, las costas, las nubes, etc. Lejos de ser vistos como monstruos o figuras raras, los fractales tienen propiedades específicas de alto valor matemático:

Estosobjetos pueden ser analizados a través de la visualización, entendiendo a esta operación como una herramienta que permite acercarse a comprender los patrones de cambio. Es decir: se pueden entender los procesos de cambio en los fractales de acuerdo con la transformación de la misma figura, identificar por qué cambió, así como controlar ese mismo cambio.

1.2 Historia De Los Fractales:

En1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado, “Los objetos fractales en francés”.

En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del latín “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó un libro en donde proponía: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch esestrictamente mayor que su dimensión topológica.”
Estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

La geometría es el estudio de las características y propiedades de las figuras geométricas. Dado que el número de éstas es prácticamente infinito y pueden llegar a ser muy complicadas, desde los inicios de la geometríaentre babilonios, griegos e hindúes se han venido estudiando sobre todo figuras sencillas de representar y estudiar. Por ejemplo, la figura preferida por los pitagóricos era el círculo, por su extrema sencillez y a la vez infinidad. Esta pasión por lo circular fue común a toda la ciencia griega, hasta el punto de llevar a Tolomeo a firmar que los planetas eran esferas totalmente lisas que se movíanen órbitas perfectamente circulares.

La matemática fractal había sido, hasta los años 70, relegada a los pies de página o a los márgenes. Cuando algún matemático se encontraba con un monstruo lo consideraba una mera anécdota. En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesadopor el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoría geométrica de la medida.

Hacia 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de encontrar un modelo matemático que explicara el comportamiento de grandes masas de aire.
Lorenz realizó distintas aproximaciones hasta que consiguió ajustar el modelo a...