Fractales

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
LIC. MATEMÁTICAS
ERICK SALGADO MATIAS
FRACTALES
22-NOVIEMBRE-2012

INTRODUCCIÓN
Este ensayo está dirigido, principalmente, a estudiantes que hayan finalizado sus estudios a nivel bachillerato u equivalente, y que tengan el deseo de estudiar en alguna facultad de ciencias, o a todas aquellas personas queestén realizando estudios a nivel licenciatura y quieran tener noción alguna sobre el tema de fractales. Sin embargo, también está dirigida a cualquiera que encuentre en las matemáticas el lenguaje universal con el cual se pueden explicar los fenómenos en nuestro entorno y, por supuesto, a todos los que ven en ella una puerta que los llevará hacia la búsqueda del conocimiento orientado al desarrollocientífico y tecnológico.
Se pretende introducir, con un nivel básico, el tema de fractales. Me interesa dar a conocer el tema desde una perspectiva informal, para que no se haga abundante el tema, logrando así que el lector se motive a realizar una investigación más exhaustiva por su propia cuenta. Sin olvidar la esencia matemática del tema.
Los fractales constituyen un tema matemático deactualidad y se han convertido en algo muy popular en los últimos años. Las figuras fractales se obtienen de repetir una y otra vez el mismo procedimiento, típicamente un fractal es algo irregular, pero lo más importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, él aún sigue irregular. Para nosotros, los fractales serán en general figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza sin embargoexisten otros, como la frontera del conjunto Mandelbrot, que son fractales no auto-semejantes.
Son estructuras infinitas y resultan de utilidad en el análisis de una gran diversidad de fenómenos como turbulencias, bolsa de valores, dispersión del humo, etc., además de sintetizar imágenes como montañas, nubes, costas rocosas, ríos y plantas entre otras.

TEMARIO

1. DEFINICIÓN, TIPOS YCARACTERISTICAS
2. DIMENSIÓN FRACTAL Y AUTOSEMEJANZA
3.1 AUTOSEMEJANZA
3.2 DIMENSIÓN TOPOLÓGICA
3.3 DIMENSIÓN FRACTAL
3. CONSTRUCCIÓN FRACTALES
4.4 CONJUNTO DE CANTOR
4.5 LA CURVA DE KOCH
4. APLICACIONES Y EJEMPLOS
5.6 EJEMPLOS EN LA NATURALEZA
5.7 APLICACIONES CIENCIA

1. DEFINICIÓN, TIPOS Y CARACTERÍSTICAS
El primer problema que senos presenta es explicar qué se entiende por conjunto fractal, para lo que en principio nos podemos limitar a nombrar algunos ejemplos como son: el conjunto de Cantor, el conjunto de Mandelbrot, el triángulo de Sierpinski, curva de Koch.
La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro [0], parareferirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:
* Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel global.
* Son auto-semejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total.
* Tienen una descripción algorítmica simple,entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo sencillo en algunos casos.
Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:
* Fractales regulares. Objetos construidos a partir de copias exactas (escaladas) de sí mismos.
* Fractales no regulares. Objetos auto-semejantes, pero que no están construidos sólo a partir de copias exactas de sí mismos.
Fractalesregulares
Se definen generalmente de la siguiente manera:
* Se parte de una figura inicial.
* Se aplican unas reglas de transformación, que generan nuevas figuras a partir de la inicial.
* A cada una de las nuevas figuras se le aplica de nuevo las reglas de transformación, y así hasta el infinito.
* Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas (unas cuantas iteraciones)....