Fretre

Polinomio Interpolador de Newton


Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximan tez P1(x), P2(x), ..... PN (x) y, después, elegir el más adecuado a nuestrasnecesidades. Si usamos los polinomios interpoladores de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no hay relación entre la construcción de PN-1(x) y la de PN(x); cada polinomio debe construirseindividualmente y el trabajo necesario para calcular polinomios de grado elevado requiere hacer muchas operaciones. Ahora vamos a usar polinomios interpoladores de Newton, los cuales se calculan mediante unesquema recursivo:

P1(x) = a0 + a1(x – x0)

P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)

P3(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2)

P4(x) = a0 + a1(x – x0) +a2(x – x0)(x – x1) + a3(x –x0)(x – x1)(x – x2) + a4(x –x0)(x – x1)(x – x2) (x – x3)



PN(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) +............+ a2(x – x0)(x – x1).... (x – xN-1)

Como se ve el PN(x) se obtiene a partir de PN-1(x) usando la recurrencia. Las ak se eligen según el polinomio que queramos tener, o bien si lo ajustamos a una función f(x).
Parael grado 1:
P1(x0) = f(x0) y P1(x1) = f(x1)

f(x0) = P1(x0) = a0 + a1(x0 – x0) = a0 a0 = f(x0)

f(x1) = P1(x1) = a0 + a1(x1 – x0) = f(x0) + a1(x1-x0)

Despejando a1 tenemos:
a1 =f(x1) – f(x0)
x1 – x0
Como vemos a1 es la pendiente de la línea recta que pasa por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). Los coeficientes a0 y a1 son losmismos para P1(x) y P2(x) así que, para continuar, ahora evaluamos la ecuación P2(x2):


f(x2) = P2(x2) = a0 + a1(x2 –x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)

Sustituyendo a0 y a1 entonces nos queda:a2 = f(x2) – a0 – a1(x2 - x0) = f(x2) – f(x0) - f(x1) – f(x0)
(x2 – x0)(x2 – x1) x2 –x0 x1 – x0 (x2 – x1)

Por motivos iterativos, lo transformamos como sigue:...