frobenios

Introduccion al Metodo de Frobenius y el
Problema de Sturm-Loiuville
Sebastian Bruzzone
Abril 2006

´
Indice general
0.1. Soluciones Analiticas (Series de Potencias) . . . . . . . . . . . . .
0.1.1. Buscando soluciones regulares (Un ejemplo) . . . . . . . .
0.1.2. Buscando soluciones regulares (Segundo ejemplo) . . . . .
0.2. Puntos Singulares para Ecuaciones Diferenciales de SegundoOrden
0.3. El Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4. Analisis de los Casos Excepcionales . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1. Exponentes iguales, s1 = s2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.2. Exponentes que difieren en un natural . . . . . . . . . . .
0.5. A Modo de Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6. Una Clase Particular de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6.1. Unas ecuaciones de renombre . . . . . . . . . . . . . . . .
0.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.8. Problema de Sturm-Liouville y Funciones Ortogonales . . . . . .
0.8.1. Funciones y Valores Propios en Problemas de Contorno .
0.8.2.Ortogonalidad de las Funciones Propias . . . . . . . . . .
0.8.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.8.4. Desarrollo de una Funcion en Serie de Funciones Ortogonales
0.9. Problemas de Contorno Relativos a Ecuaciones Diferenciales no
Homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.10. Series de Bessel-Fourier. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

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Resumen
El fin de este trabajo es presentarle al estudiante un metodo muy util para la
resolucion de ecuaciones diferenciales de segundo orden conocido como el Metodo de Frobenius1 . Este metodo se convirtio en una herramienta muy poderosa
para la determinacion de soluciones para un amplio espectrode ecuaciones diferenciales de segundo orden con una inmediata repercusion en aplicaciones de la
fisica en innumerables problemas.
El metodo propone la busqueda de soluciones desarrollables en series de potencias para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Este procedimiento
requiere el encontrar relaciones de recurrencia entre los coeficientes de las series
buscadas, asumiendo unprimer termino no nulo.
Las ideas mas generales sobre desarrollos en series de potencias se presentan
en la primea seccion, Soluciones Analticas.. En la siguiente seccion se continua
con la definicion de puntos singulares para ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden para asi presentar a continuacion el tema principal en la seccion
El Metodo de Frobenius.
Un breve resumen espresentado y luego algunas ecuaciones de mucha importancia son presentadas como casos particulares de las ecuaciones analizadas bajo el
metodo antes presentado en la seccion Una Clase Particular de Ecuaciones.

1 Nacimiento

de Frobenius

0.1.

Soluciones Analiticas (Series de Potencias)

Una clase muy extensa de ecuaciones diferenciales poseen soluciones expresables en series de potencias,las cuales son validas en un dominio determinado. Las funciones que gozan de esta particularidad son denominadas analiticas
Las ecuaciones diferenciales mas familiares para todos como la ecuacion de un
oscilador armonico x + ω 2 x = 0 admite soluciones del tipo x(s) = A1 sen(ωs) +
¨
A2 cos(ωs) siendo claro sen(ωs) y cos(ωs) funciones analiticas. De igual manera para la ecuacion de un osciladoramortiguado como en un gran numero de
ecuaciones de la mecanica nos encontraremos con este tipo de ecuaciones.
Una expresion de la forma
∞

A0 + A1 (x − x0 ) + · · · + An xn + · · · =

An (x − x0 )n

(1)

n=0

se denomina serie de potencias, estando definida por el limite
N

An (x − x0 )n

limN →∞
n=0

para aquellos valores de x en que exista este limite, en cuyo caso la...