fuerzas en el espacio

VI. FUERZAS EN EL ESPACIO
Hasta ahora hemos venido estudiando sistemas de fuerzas cuyas líneas de acción están
con-tenidas en un plano. Ahora comenzaremos el estudio de los sistemas en tres dimensiones.
Prácticamente no habrá ninguna nueva teoría que añadir, pues simplemente tendremos que
trabajar con una componente más de todas las fuerzas. Sin embargo, eso complicará las
representacionesgráficas, la determinación de las direcciones de las fuerzas y, sobre todo, lo
relativo a los momentos de las fuerzas: ahora tendremos que retomar el hecho de que los
momentos de las fuerzas son tendencias a hacer girar los cuerpos respecto a ejes, no a puntos.
Nos resultará muy útil ahora utilizar vectores para representar tanto las fuerzas como sus
momentos.

Vectores
F

Un vector es unsegmento dirigido de recta.
Sus características son 1) magnitud, tamaño,
ϴ
módulo o norma, y 2) dirección.
Para utilizarlos como elementos matemáticos definiremos varias operaciones y
estableceremos un álgebra completa. Las propiedades de los vectores, de sus operaciones y de su
álgebra, tendrán que se conformes a las propiedades del las fuerzas, de su composición y
resolución, de laobtención de momentos, etc. Una limitante de los vectores es que necesitan otro
que defina su posición (1).

Suma de vectores
La suma de dos vectores que parten de un
punto es otro vector que se encuentra en la diagonal
del paralelogramo formado con esos dos vectores, y
parte también de ese punto.
Como se ve, sumar, vectores, equivale a
obtener la resultante de un sistema de fuerzasconcurrentes.
Componente de un vector es otro vector que
al sumarse con uno o varios más, tienen por suma el
vector . Son componentes cartesianos de un vector
aquellos que tienen la dirección de los ejes
cartesianos. Es decir:

F2

A

R

F1

Fuerzas en el espacio

z
Fz

F
Fy

y

Fx

x

Producto de un escalar por un vector

Un escalar es una cantidad que queda completamentedefinida por una sola característica.
En Física son escalares la temperatura, la longitud, el tiempo, la masa, etc. En cambio, son
vectores las cantidades que tienen magnitud y dirección, como la fuerza, la velocidad, la
aceleración, y otras muchas.
En nuestra álgebra un escalar es un número real.
Al multiplicar un escalar por un número real obtenemos un nuevo vector en la misma
dirección queel original. Pero con una magnitud o sentido distinto.

Vectores unitarios
Si tenemos un vector unitario e en cierta dirección, los vectores 2e, 5e. –3e son paralelos
al primero.
Los vectores i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de los ejes equis, ye y zeta,
respectivamente. De modo que
;

;

Y, por fin, un vector queda unívocamente expresado de la siguiente manera

quese llama forma polinómica (dada su semejanza con un polinomio algebraico) o normal (puesto que sus tres componentes son normales
perpendiculares
entre sí).

Cosenos directores
Conocida la forma polinómica de un vector, se puede conocer el ángulo que forma con
cada uno de los ejes coordenados. Como Fx y F son, respectivamente el cateto y la hipotenusa de
un triángulo rectángulo; por tanto
zFz

α
Fx

x
96

F
Fy

y

Fuerzas en el espacio

que son los cosenos directores del vector.
Un vector unitario cualquiera en forma polinómica sería

por tanto, dado que la magnitud de un vector es

entonces

que viene a ser una ley de dependencia de los tres ángulos que una recta forma con los ejes
coordenados.

Vector apoyado en dos puntos
Supongamos que la línea deacción de una fuerza de magnitud F pasa por los puntos A
(x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2)
Para hallar un vector que represente tal fuerza tendríamos que multiplicar la magnitud de
la fuerza por un vector unitario en la dirección AB. Es decir

Pero

y su magnitud es

o sea que

97

Fuerzas en el espacio

A

Ejemplo. La tensión en el cable AB es de 390
kg. Diga qué vector representa...