Funcion impulso

Problema 2 Sea  una función integrable no negativa, tal que  (x) = 0 para x  1 y   ( x)dx  1 .
1 1

1  x Para h>0, sea  h ( x)     h h

a) Mostrar que h ( x)  0 para x  h yque Por demostrar que h ( x)  0 para x  h

h



h

h

( x)dx  1

h ( x)  0 para x  h h ( x)  0 para x  h  x  h
1  x      0 para x  h  x  h h h  x Sólo bastaanalizar    , ya que se sabe que  (x) = 0 para x  1 h  x x     , si x  h     1  0  h ( x)  0 h h   x x     , si x  h     1  0  h ( x)  0 h h  h ( x) 0 para x  h

Por demostrar que   h ( x)dx  1
h

h

h



h

h

1  x ( x)dx     dx h h h
h

dx  x Sea u    du   hdu  dx h h x  h, u  (1) x  h, u  1Del cambio de variable anterior, la integral equivalente es:

1 1 h  (u)hdu  1 (u)du, y dado que 1 ( x)dx  1 , se tiene: 

1

1

1

1

  (u)du  1

1

Nota: u  x,pero ambas son variables.

   h ( x)dx  1
h

h

b) Sea f integrable en [-1,1] y continua en 0. Mostrar que

Lím   h ( x) f ( x)dx  Lím   h ( x) f ( x)dx  f (0)  
h 0 1 h 0 h1

h

(Sugerencia: Aplicar el teorema del valor medio integral) Por demostrar que Lím   h ( x) f ( x)dx  f (0) 
h 0 h h 0  h

Lím  h ( x) f ( x)dx ,  h (x) es integrable en  h x  h , y como h  0  x  0
h

h

Luego  h (0) no tiene imagen definida (valor alto, indefinido), debido a que:
1 0 h h Y como h  0   h (0)    h (0) no es constante.

 h (0)   , y se sabe que  (x) es continua en x = 0   h (0) 

1 * cte , h

De este modo se define:
Lím h ( x)  
h0

0, x  h
, x  h

Finalmente, como h  0   h (0)  h ( x) noconstante. Luego f (0) tiene imagen definida  f (0) constante.

Lím   h ( x) f ( x)dx  Lím   h ( x) f (0)dx  f (0) Lím   h ( x)dx  f (0) *1  f (0)   
h 0 h h 0 h h 0 h

h

h...