Funciones Canónicas

Funciones Racionales

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional esuna razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad decomportamientos.
Ejemplo


Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
  .

Funciones de valor absoluto
Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempreserá positiva o nula. 
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función,sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
Veamos un ejemplo:






Funciones CúbicasUna función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:
Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.
EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓNLa derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.
La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, lafunción derivada de la función original.
El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.
El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.
Para representar la derivada en un punto podemos dibujar la recta tangente a la gráfica de una función cúbica en ese punto:

Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemosusar una lupa. Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:

Entonces podemos dibujar una recta paralela a esta tangente a través del valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo:

La derivada de una función cúbica es una funcióncuadrática.

Funciones uno entre x
La función recíproca de f(x) es 1/f(x). Por ejemplo, si A(x)=log(x), la función recíproca de A es B(x)=1/log(x).
Digo esto porque no hay que confundir la función recíproca con la función inversa, que no tiene nada que ver. La confusión es corriente porque muchas veces se escribe A-1(x) como abreviatura de la función inversa de A(x), y el signo A-1 también...