Función de Lambert

En matemáticas, la función W de Lambert, denominada así en honor a Johann Heinrich Lambert, si bien también se conoce como función Omega o log producto, es la función inversa de f(w) = wew donde ewes la función exponencial natural y w es cualquier número complejo. La función se define mediante W. Para todo número complejo denominado z, tenemos

Puesto que la función f no es inyectiva, lafunción W es multivaluada (excepto en 0). De restringir los argumentos reales, x y w reales, la función es definida sólo por x ≥ −1/e, y es doble-valuada en (−1/e, 0); la restricción adicional w ≥ −1define una función simple-valuada W0(x), representable gráficamente. Tenemos W0(0) = 0 y W0(−1/e) = −1. La rama alternativa en [−1/e, 0) con w ≤ −1 es indicada como W−1(x) y decrece de W−1(−1/e) = −1 aW−1(0−) = −∞.
La función W de Lambert no puede expresarse en términos de funciones elementales. Es útil en combinatoria, por ejemplo en la enumeración de árboles. Puede emplearse para resolvervarias ecuaciones que alberguen exponenciales y también participa en la solución de ecuaciones diferenciales retrasadas temporalmente, como y'(t) = a y(t − 1).


Derivación e integración

Porderivación implícita, se encuentra que W satisface la ecuación diferencial ordinaria.

por lo tanto:

La función W (x), y algunas expresiones que implican a W(x), pueden ser integradas empleando laregla de sustitución w = W(x), i.e. x = w ew:


Series de Taylor

Las series de Taylor de W0 en torno a 0 pueden ser resueltas mediante el teorema de inversión de Lagrange que procede de:

Elradio de convergencia es 1/e, como puede verse mediante el criterio de d'Alembert. La función definida por las series puede extenderse a una función holomórfica definida para todos los números complejoscon un branch cut en torno al intervalo (−∞, −1/e]; la mencionada función holomórfica define la rama principal de la función W de Lambert.
[editar]Aplicaciones

Algunas ecuaciones que poseen...