Gauss

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería
Mecánica y Eléctrica

Análisis Numérico

Practica N° 1
Solución de un Sistema de Ecuaciones a través del método de Gauss (Sin normalizar)






Objetivo
El objetivo de ésta práctica es poder encontrar soluciones adecuadas a los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales, en este caso, la solución que ocuparé es la de“Eliminación de Gauss Sin Normalizar”.
Más allá de saber en qué consiste el método y dominarlo, se trata de saber aplicarlo en un programa y compararlo con los cálculos hechos a mano, pero el objetivo principal es lograr visualizar la solución con un código adecuado para crearla en un programa y diseñar la solución.

Introducción:
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos ytérminos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra. En una ecuación puede haber más de una incógnita.
Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el gradode la ecuación.
En esta práctica me enfocaré a definir y explicar una solución para sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
El método que explicaré será el de Eliminación de Gauss Sin Normalizar pero primero definiré que es una ecuación lineal.
Una ecuación lineal es aquella ecuación algebraica cuyo máximo exponente de la o las variables es uno. Un sistema de ecuaciones lineales consta devarias ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente y comparten la o las soluciones.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es una expresión dada por la ecuación:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · = ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm













El método deEliminación de Gauss sin normalizar consiste en hacer una eliminación hacia adelante, es decir, hacer que los elementos por debajo de la diagonal principal se hagan ceros.
Para conseguir el primer cero tomamos al segundo elemento de la segunda columna y le restamos el resultado de la siguiente operación: multiplicación del primer elemento de la segunda columna por el segundo elemento de la primer columna yese resultado dividido entre el primer elemento de la primer columna.
A este procedimiento se le conoce como pivoteo.
Este paso lo repetimos con los todos los siguientes elementos, pues se debe configurar toda la fila y no solo el primer digito.
Una vez realizada la configuración y logrando que los elementos que están por debajo de la diagonal principal sean ceros, comenzamos la sustituciónhacia atrás.
Observamos con detalle que al configurar la matriz, la última fila solo tiene 2 valores, por lo tanto ya podemos obtener el valor de X3 si solo la despejamos, es decir:
X3 = b3 configurada 2 veces/ a33 configurada 2 veces
X2= (b2 configurada 1 vez – (a23 configurada 1vez * X3)) / a22 configurada 1 vez
X1= (b1 – (a12 * X2)) / a11
Y de esta manera es como obtenemos los resultadosesperados.
Desarrollo del Método de Gauss sin normalizar
El método de Gauss sin normalizar consiste en:
Eliminación hacia adelante.
Sustitución hacia atrás.









Al obtener la matriz de esta forma, procederemos con la sustitución hacia atrás despejando las variables X3,X2 y,X1.

Ejemplo realizado en Clase “Nodos”
Ahora realizaremos el desarrollo de un sistema denodos que realizamos en clase en clase, solo que ahora lo solucionaremos también por un algoritmo elaborado para darle solución en el software Matlab.










Despeje de las variables


Código en MatLab
%"Ejemplo 1 Clase"
%Eliminación de Gauss (Sin Normalizar)
clc
clear all
A=[ .15 -.1 -.05 5;
-.1 .145 -.025 0;
-.05 -.025 .075 2]
[r,c]=size(A)...