Geomensor

Geometría del Elipsoide de revolución
2ª parte
E. Calero
Versión 1.0
Marzo 2005
PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA
2.23 Problemas directo e inverso de la Geodesia.
2.24 Algunas fórmulas previas.
2.24.1 Elemento del arco de meridiano d β en función de la
latitud reducida ψ
2.24.2 Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y
en la dirección de esta.
2.24.3 Imagenesférica de una geodésica del elipsoide de
revolución
2.24.4 Triángulo esférico polar asociado a un arco de geodésica.
2.24.5 Longitud del elemento de arco de geodésica distinta del
ecuador
2.24.6 Cálculo de la longitud (geodésica distinta del ecuador)
2.24.7 Integración del arco (geodésica distinta del ecuador)
2.24.8 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto
de latitudreducida ψ
2.24.9 Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto
de latitud geodésica ϕ
2.24.10 Cálculo de la longitud λ en función de ω
2.25 Elementos del triángulo polar sobre la esfera
2.26 Problema Inverso Solución de J.J. Levallois y Du Puy.
2.27 Problema Inverso. Solución iterativa de Helmert modificada por
Sodano
2.28 Problema directo. Método de E. Sodano.
2.29 Problemainverso. Fórmulas de Sodano.

CÁLCULOS EN EL ELIPSOIDE
2.30 Cálculo de una triangulación en el elipsoide
2.30.1 Cálculos en la esfera.
2.30.2 Teorema de Legendre.
2.30.3 Extensión del teorema de Legendre al Elipsoide

2.23 Problemas directo e inverso de la Geodesia.

Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide de revolución:
PROBLEMA DIRECTO:
Conocidas
Las coordenadas geodésicas (ϕ1 , λ1 )de P1
La longitud del arco de geodésica P1 - P2
El acimut A12 de P2 en P1
Determinar
Las coordenadas geodésicas (ϕ 2 , λ2 ) de P2
El acimut A21 de P1 en P2
PROBLEMA INVERSO:
Conocidas
Las coordenadas geodésicas (ϕ1 , λ1 ) de P1 y (ϕ 2 , λ2 ) de P2
Determinar:
La longitud del arco de geodésica P1 - P2

El acimut A12 de P2 en P1
El acimut A21 de P1 en P2

2.24 Algunas fórmulasprevias.
2.24.1 Elemento del arco de meridiano d β en función de la latitud reducida ψ

En la elipse meridiana
x = a.cosψ

y = b.senψ

d β 2 = dx 2 + dy 2 = ( a 2 sen 2ψ + b 2 cos 2 ψ ) dψ 2 = b 2 (1 +

a 2 − b2
sen 2ψ ) dψ 2
2
b

d β = b 1 + e,2 sen 2ψ dψ
El arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida ψ
ψ

β = b ∫ 1 + e,2 sen 2ψ dψ
0

integral elíptica deprimera especie.
2.24.2 Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y en la dirección de esta.

Sean:
A acimut de la geodésica en un punto P
R radio de curvatura normal en la dirección A en el punto P
ρ radio de curvatura normal en la dirección del meridiano de P
N radio de curvatura normal en la dirección del primer vertical de P
A0 acimut de la geodésica en el punto de corte con elecuador
r radio del paralelo que pasa por P

Aplicando el teorema de Euler
1 1
1
= cos2 A + sen 2 A
R ρ
N

y el teorema de Clairaut

r.senA = a.senA0

N=

a
1 − e sen ϕ
2

2

=

a
W

ρ=

a (1 − e 2 )
1 − e 2 sen 2ϕ

3

=

a (1 − e 2 )
W3

W = 1 − e 2 sen 2ϕ

1 1 ⎛ 1 1⎞
= + ⎜ − ⎟ sen 2 A
R ρ ⎝N ρ⎠
senA =

a.senA0 a.senA0 WsenA0
=
=
r
N .cos ϕ
cosϕ

(

)

W (1 − e 2 ) − W 2
1 1 W
W3
e 2W cos2 ϕ
− = −
=
=−
N ρ a a (1 − e 2 )
a (1 − e 2 )
a (1 − e 2 )

⎛ 1 1⎞
2
2 1
2
⎜ N − ρ ⎟ sen A = − e ρ sen A0
⎝
⎠
1 1
= (1 − e 2 sen 2 A0 ) pero K −1 = (1 − e 2 sen 2 A0 ) = const. es una
R ρ
constante

R =

(1 − e

ρ

2

sen 2 A0 )

R = K .ρ

En todo punto de una geodésica del elipsoide de revolución, distinta delecuador y de un
meridiano, se verifica que el radio de curvatura normal en la dirección de la geodésica
es proporcional al radio de curvatura normal en la dirección del meridiano.
2.24.3 Imagen esférica de una geodésica del elipsoide de revolución

Consideremos la elipse meridiana y su circunferencia principal, al girar alrededor del
semieje menor, ambas curvas describen un elipsoide de...