Geometria43b 140516103113 Phpapp02








OBJETIVOS:
 Conocer el concepto de región plana y aprender a calcular su medida en base a la definición de área.
 Aprender a utilizar las diversas fórmulas del cálculo de áreas de las principales regiones planas tales como: Región triangular, región cuadrangular y región circular.
 Comparar las áreas de las regiones teniendo en cuenta ciertas características entre ellas.INTRODUCCIÓN:
Desde tiempos pasados el hombre tenía la necesidad de medir extensiones superficiales (terrenos de cultivo, viviendas, territorios, etc.) con el cuál surge la necesidad de crear una magnitud de medidas superficiales derivada de la magnitud de medidas lineales (longitud); a la cual se le denomina área.

REGIÓN PLANA
Es una porción de plano limitada por una línea cerrada.



ÁREA
Es lamedida de una región, la cuál resulta de comparar a dicha región con otra tomada como unidad (región unitaria).
Convencionalmente se toma como región unitaria a una región cuadrada (Región limitada por un cuadrado), donde la longitud de su lado es la unidad de longitud (m) cuya área es 1 m2 (unidad de área).



Del gráfico: A = K(Au)

Pero: Au = 1m2

 A = Km2


ÁREA DE REGIONESTRIANGULARES

FÓRMULA BÁSICA

El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.



En el gráfico:
es la altura relativa a
Si: AC = b y BH = h



Observación:



: altura relativa a





: catetos



FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
El área de una región triángular es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados,multiplicados con el seno del ángulo determinado, por dichos lados.


En la figura:
AB = c , AC = b y m  BAC = 



Observación:


 ABC: equilátero
AB = BC = AC = 



FORMULA DE HERÓN
El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia de dicho semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados.En el  ABC:


p: semiperímetro de la región ABC


FÓRMULAS ADICIONALES

Con el inradio



En la figura:
r : inradio del  ABC
p : semiperímetro de la región ABC

A ABC = pr


Observación:



En la figura:
AM = m y MC = n




RELACIÓN DE ÁREA EN REGIONES TRIANGULARES

Consiste en establecer la comparación de las áreas de regiones triangulares que presentan ciertas características.
Al trazaruna ceviana



En el  ABC
: ceviana interior



Observación:



En el  ABC
: mediana



Triángulos con un ángulo de igual medida




En la figura: m  BAC = m  NML = 


Triángulos con un ángulo suplementario



En la figura, los ángulos ACB y MLN son suplementarios, es decir:  +  = 180



Triángulos semejantes



En la figura  ABC  MNL



K : razón de semejanza

ÁREA DEREGIONES CUADRANGULARES

FÓRMULA GENERAL

El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales, multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.


ABCD : convexo


MNLP : cóncavo en P






ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL

El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases conla longitud de la altura de dicho trapecio.





En el gráfico:
ABCD : trapecio
: bases
Entonces:

Además:
Si es la base media del trapecio ABCD


ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA

Región Romboidal
El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.



En la figura:ABCD : paralelogramo




Además:



Región Rombal

El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.



En la figura:
ABCD : rombo


Región Rectangular
El área de una región rectangular es igual al producto de sus dimensiones.



En la figura:
ABCD : rectángulo
a y b : dimensiones del rectángulo



Región Cuadrada
El área de una región cuadrada...