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Páginas: 20 (4806 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2013
Moisés Villena Muñoz
3
3.1
3.2
3.3
3.4
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hiperbola
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Identifique, grafique y determine los
elementos de una cónica conociendo su
ecuación general.
• Dado elementos de una cónica encuentre su
ecuación.
• Resuelva problemas de aplicación empleando
teoría de cónicas
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Cónicas
MoisésVillena Muñoz
Las cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuando
un doble cono se interseca con planos.
3
No estamos interesados en los lugares geométricos de
,
2
estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en
. Se
obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano.
Descubriremos que la ecuación de una cónica, tienela forma:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0
Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos, y E = 0 .
3.1. Circunferencia
3.1.1. Definición.
Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real
positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de
puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a O es igual a
“ r ”. Es decir:
Circunferencia = { P ( x, y ) / d ( P, O) = r}
Al punto “ O ” se le denominacentro de la circunferencia y a “ r ” se le
denomina radio de la circunferencia.
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Cónicas
Moisés Villena Muñoz
3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas ( h, k )
y
P (x, y )
r
O(h, k )
x
La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto
C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x −h) 2 + ( y − k ) 2 ,
entonces, tenemos:
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
Ecuación canónica de una
circunferencia. Para r 2 > 0 .
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por
ecuación:
x2 + y2 = r 2
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen:
y
y = x2 − r 2
O (0,0 )
x
r
y = − x2 − r 2
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Cónicas
Moisés Villena MuñozDespejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias
superior e inferior.
Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O ( 4, 2 )
y radio 3
SOLUCIÓN:
Reemplazando en ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 tenemos:
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 32
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 9
La ecuación canónica pedida.
Ahora,
en
la
ecuación
canónica
delejemplo
anterior
( x − 4) + ( y − 2) = 3 , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se
obtiene:
2
2
2
x 2 − 4 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 = 9
x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 16 + 11 = 0
Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá
la forma:
x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0
O también:
Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Esta última ecuación es llamadaCIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN GENERAL DE UNA
Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o
descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general,
deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios
cuadrados perfectos.
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Cónicas
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y −12 = 0
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrados
(x
2
)(
)
− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9
( x − 2) + ( y + 3) = 25
2
2
Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)
r =5
C (2,−3)
No toda ecuación de la forma
representará una circunferencia.
Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Si en elproceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2 = 0 , es
2
2
decir resulta ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h, k ) .
¿Por qué?
Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué?
Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 2 ) ,
( 3, 0 ) y ( 3 +
3,3
)
Solución:
Si los puntos...
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