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Introducción


Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructuraadicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformacioneslineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.


Se denomina transformaciónlineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otrasramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.1. Transformaciones lineales


1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Unatransformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:
i)   ,  .
           ii)   ,  ,  .
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en losespacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si   es una transformación lineal, entonces  .
En efecto . Por la ley de la cancelación en W, tenemos que .
Nótese que en realidadsolo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)  es lineal si y solo si , , .
Si T lineal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las...