Glosario de Lógica

Journey into Mathematics

Joseph J. Rotman

Glosario de Lógica
La lógica, es como el whisky, pierde sus efectos benéficos cuando es tomado en grandes
cantidades.
Lord Dunsany

Lo siguiente está diseño como un diccionario informal, pero en lugar de ordenar los términos en
orden alfabético, los escribimos en orden natural.

CALCULUS PROPOSICIONAL
Cualquier lenguaje involucraenunciados, conectivos lógicos (p.e., no, y, o) y reglas para formar
enunciados. Pero un lenguaje es más que esto; algunos enunciados deben ser verdaderos o falsos.
En Español, “Yo tengo mil años de edad” y “Cualquier entero > 4 es la suma de dos primos” son
enunciados que pueden ser ciertos o falsos (aunque no podamos decidir cuál), pero “My gato
tiene 6 crías” no es ni verdadero ni falso, para “Yo notengo un gato”.
Ahora vamos a una noción abstracta del lenguaje. En contraste con los lenguajes hablados,
describiremos un lenguaje, llamado el calculus proposicional, en cualquier enunciado es o
verdadero o falso (una vez que sus valores de verdad sean asignados a sus componentes). Un paso
de este lenguaje abstracto a un lenguaje honesto se le llama interpretación. Dando definiciones
dentrodel calculus proposicional, siempre vamos a ser guiados por lo que queremos mantener en
interpretaciones familiares.
Comenzaremos con las proposiciones P, Q, …, cada una se le debe asignar un valor de verdad V
(verdadero) o F (falso). (Existen lenguajes, también llamados de Lógica Plurivalente, en los cuales
existen más de dos valores de verdad—una interpretación de esos lenguajes es que losenunciados
pueden tener cierta probabilidad de ser verdaderos.) Dos aspectos entrelazados en la construcción
del calculus proposicional son: las cadenas de las proposiciones, paréntesis y conectivos lógicos
son fórmulas (en este contexto, los enunciados son normalmente llamados fórmulas); Los cuáles
son los valores de verdad de las fórmulas. A continuación, introducimos conectivos lógicos queson usados para construir fórmulas. Cada proposición es, por definición, una fórmula, y la idea
ahora es construir gradualmente, fórmulas más grandes usando conectivos lógicos. No debemos
dar detalles de esta construcción, para aquellos que son quisquillosos, pero he aquí una
descripción de dichos conectivos. Sean φ (minúscula del Griego phi) y ψ (minúscula del Griego psi)
fórmulas.Mauricio Jiménez Velasco

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Joseph J. Rotman

Negación: La negación de una fórmula φ, llamada “no φ,” es una fórmula denotada por ~ φ.
Describimos a ~ φ cuando es verdadero y cuando es falso. Si φ es falso, entonces ~ φ es
verdadero, y si φ es verdadero, entonces ~ φ es falso. Es conveniente mostrar esto en una tabla
de verdad, donde V denota “verdadero” y F denota“falso.”
φ
~φ

V
F

F
V

Y: La fórmula “φ y ψ” es denotada por φ ^ ψ; a continuación, la tabla de verdad.
φ
ψ
φ ^ψ

V
V
V

V
F
F

F
V
F

F
F
F

Así, φ ^ψ es verdadero precisamente cuando φ y ψ son verdaderos.
O: La fórmula “φ o ψ” es denotada por φ v ψ; a continuación la tabla de verdad.
φ
ψ
φvψ

V
V
V

V
F
T

F
V
T

F
F
F

Así, φ v ψ es verdaderocuando al menos uno de los dos es verdadero. En el caso particular,
tenemos declarado que φ v ψ es verdadero si φ y ψ son verdaderos. (Existe otro uso del conectivo
lógico o en el lenguaje común, para efectos que cualquiera de los dos φ o ψ, pero no los dos, es
verdadero (p.e. ¡Tómalo o déjalo!); esto es llamado o exclusivo, pero siempre haremos referencia
al o definido por la tabla de verdadanterior.)
Sí y sólo sí: La fórmula “φ sí y sólo sí ψ” es denotada por φ ⟺ ψ; a continuación la tabla de
verdad.
φ
ψ

φ⟺ψ

V
V
V

V
F
F

F
V
F

F
F
T

Así, φ ⟺ ψ es verdadero precisamente cuando los valores de verdad para φ y para ψ
corresponden. Decimos que dos fórmulas φ y ψ son lógicamente equivalentes si tienen las
mismas tablas de verdad. Es fácil observar que φ y ψ...