Golpe

   

ESTUDIO DE TRANSITORIOS: GOLPE DE ARIETE 
  ECUACIIONES BÁSIICAS:: ECUAC ONES BÁS CAS En  este  trabajo  se  abordará  el  estudio  de  los  escurrimientos  impermanentes,  es  decir  aquellos en que las características del escurrimiento varían en el tiempo.  PRIIMERA  ECUACIIÓN  DE  SAIINT  VENANT   PR MERA ECUAC ÓN DE SA NT VENANTSe supone una conducción de sección circular (diámetro D) como la que se muestra en la  figura 1, por la que escurre con una velocidad U un fluido de densidad ρ (peso específico  γ = ρ.g) y considerando un volumen de control de sección coincidente con la de la tubería  y longitud  dl .  Sobre  dicho  volumen  actuarán,  por  un  lado,  las  fuerzas  originadas  por  la  presión  del  líquido  (p)  y  las  fuerzas  originadas  a  raíz  del  peso  propio  del volumen;  por  el  otro  lado,  estarán  los  esfuerzos  resistentes  al  movimiento  del  fluido  (τ 0 ).  En  la  Figura  1  se  pueden  apreciar  claramente  la  dirección  y  sentido  de  cada  una  de  estas  fuerzas,  así  como  los  valores teóricos que toman.  Ahora bien, aplicando la Ley de Newton, según la cual: F = m. Ω 

Línea Piezométrica

p

∂Ω dl ∂l
τ0

p γ
γ.Ω.dl.sen θ

p.Ωα

l

γ.Ω.dl
dl

p.Ω +

∂ (p.Ω)dl ∂l

Z

PLANO DE COMPARACIÓN

Figura 1  Puede escribirse, en este caso: 
∂ dU ∂Ω ⎡ ⎤ p.Ω − ⎢p.Ω + (p.Ω )dl ⎥ + p dl + γ.Ω.dl.senθ − τ 0 .π.D.dl = ρ.Ω.dl ∂l dt   ∂l ⎣ ⎦

Hidráulica II Facultad de Ingeniería Trelew - UNPSJB

1

∂Ω ∂p ⎤ ∂Ω dU ⎡ p.Ω − ⎢p.Ω + p d l + Ω dl ⎥ + p dl + γ.Ω.dl.senθ − τ 0 .π.D.dl = ρ.Ω.dl ∂l ∂l ⎦ ∂l dt   ⎣

ΩdU ∂p dl + γ.Ω.dl.senθ − τ 0 .π.D.dl = ρ.Ω.dl dt   ∂l 4τ 1 ∂p dU + g.senθ − 0 = dt   ρ ∂l ρ.D

Dividiendo por la masa: : ρ.Ω.dl

−

∂Z Dividiendo por g en ambos miembros y considerando que sen              y que:  α=− ∂l 2 dU ∂U ∂l ∂U ∂U ∂U 1 ∂(U ) ∂U = + =U + = + dt ∂l ∂t ∂t ∂l ∂t 2 ∂l ∂t  

La expresión queda: 

1 ∂p ∂Z 1 ∂ U2 1 ∂U 4τ 0 − − − = + γ ∂l ∂l 2.g ∂l g ∂t γ.D  Lo que puede escribirse como: 
∂ ⎛ p U2 ⎞ 1 ∂U 4τ 0 ⎜Z + + ⎟=− − ⎜ ⎟ ∂l ⎝ γ 2.g ⎠ g ∂t γ.D  

( )

  Recordando el concepto de velocidad de corte:     Resultando:   τ 0 = ρ.f Finalmente: 
U. U p U2 ⎞ 1 ∂U ∂ ⎛ ⎟=− ⎜Z + + −f ⎟ ⎜ g ∂t 2.g.D ∂l ⎝ γ 2.g ⎠
1ra. ECUACIÓN DE SAINT VENANT

τ0 f =U ρ 8

U2 2.g

 

  Esta  expresión  se  conoce  como  "1ra.  Ecuación  de  Saint  Venant"  y  cabe  destacar que  el  término entre paréntesis corresponde a la conocida expresión de Bernoulli.  Además,  se  ha  colocado  el  término  U 2   como  U.|U|  a  efectos  de  conservar  el  sentido  vectorial  de  la  pérdida  de  energía  en  el  movimiento  impermanente,  donde  la  velocidad  puede cambiar de sentido. 

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2SEGUNDA  ECUACIIÓN  DE  SAIINT  VENANT   SEGUNDA ECUAC ÓN DE SA NT VENANT Ahora  considerando  el  mismo  sistema  que  en  el  caso  anterior,  pero  se  aplica  sobre  él  la  ecuación de continuidad. Para esto, se considera que el caudal másico entrante (Q mE ) más  el  caudal  másico  saliente  (Q mS )  coincide  con  la  variación  temporal  de  la  masa  en  el  volumen  de  control.(La  masa  que  entra  menos  la  masa que  sale  es  igual  a  cómo  varía  la  que está contenida en el volumen de control)  En la figura 2 se muestran los caudales mencionados: 

Línea Piezométrica

p.Ω.U

α
p.Ω.U + ∂ (p.Ω.U )dl ∂l

l

dl
PLANO DE COMPARACIÓN

Figura 2  Entonces, aplicando el balance de masas mencionado: 

me − ms =

∂ Δm i ∂t  

∂ ⎤ ∂ ⎡ ρ.U.Ω − ⎢ρ.U.Ω + (ρ.U.Ω )dl ⎥ = (ρ.Ω.dl ) ∂l ⎦ ∂t ⎣  Desarrollando la expresión:  

⎡ ∂dl ∂Ω ∂ρ ∂U ∂ρ ∂.Ω ⎞⎤ ⎛ + ρ.dl + Ω.dl ρ.U.Ω − ⎢ρ.U.Ω + dl⎜ ρ.Ω + U.Ω + ρ.U.Ω ⎟⎥ = ρ.Ω. ∂t ∂t ∂t   ∂l ∂l ∂l ⎠⎦ ⎝ ⎣
Dividiendo por la masa y reordenando:  

U ∂Ω 1 ∂Ω U ∂ρ 1 ∂ρ ∂U + + + + =0 Ω ∂l Ω ∂t ρ ∂l ρ ∂t ∂l  
  Entonces: 

1 dΩ Ω dt

1 dρ ρ dt

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3

1 dΩ 1 dρ ∂U + + =0 Ω dt...