Grupos De Lie

Cap´ ıtulo 7

Grupos de Lie
Definici´n 7.1 Decimos que un grupo G es un grupo de Lie si G es una variedad C ∞ y o las aplicaciones 1. 2. G × G −→ G , (x, y) −→ xy , G −→ G , x −→ x−1 ,

son C ∞ .

Teorema 7.1 Sea G una variedad que posee estructura de grupo. Entonces G es un grupo de Lie si y s´lo si la aplicaci´n G × G −→ G definida por (x, y) → xy −1 es C ∞ . o o La demostraci´n escorolario del siguiente resultado. o Teorema 7.2 Sean M , N y R variedades diferenciables de clase C r (r
r

1) y sea

o ϕ : M × R → N una aplicaci´n de clase C , tal que para cada r ∈ R fijo, la aplicaci´n o o ϕr : M → N definida por ϕr (x) = ϕ(x, r) es un difeomorfismo C r . Entonces la aplicaci´n ψ : N × R → M definida por ψ(y, r) = ϕ−1 (y) , donde y ∈ N y r ∈ R es de clase C r . r Demostraci´n.Definamos las aplicaciones Φ : M ×R −→ N ×R por Φ(x, r) = (ϕ(x, r), r) = o (ϕr (x), r) , para x ∈ M , r ∈ R y Ψ : N × R −→ M × R , por Ψ(y, r) = (ψ(y, r), r) = o (ϕ−1 (y), r) para y ∈ N ,, r ∈ R . Es claro que Φ y Ψ son diferenciables si y s´lo si ϕ y r 138

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ψ son diferenciables. Tenemos que Φ es diferenciable por hip´tesis. Probemos que Ψ es o diferenciable. Observemos que (Ψ ◦Φ)(x, r) = Ψ(ϕr (x), r) = (ϕ−1 (ϕ−1 (ϕr (x), r) = (x, r)), para todo r r (x, r) ∈ M × R y de modo an´logo Φ ◦ Ψ(y, r) = Φ(ϕ−1 ) = (ϕr (ϕ−1 (y)), r) = (y, r) para a r r todo (y, r) ∈ N × R. Luego Φ y Ψ son biyectivas. Ahora bien afirmar que Ψ es diferenciable es equivalente a afirmar que la biyecci´n difeo renciable Φ es un difeomorfismo. Por otra parte, es evidente que una aplicaci´n diferenciablebiyectiva es un difeomorfismo o si y s´lo si es un difeomorfismo local. o Ahora, para cada (a, r) ∈ M × R se tiene que DΦ(a, r) : T(a,r) M × R −→ TΦ(a,r) N × R, y como T(a,r) M × R = Ta M ⊕ Tr R y llamando b = ϕ(a, r), se tiene que Φ(a, r) = (b, r), luego TΦ (a, r)N × R = Tb N ⊕ Tr R. Con esto podemos pensar que la derivada de Ψ en (a, r) tiene la forma A C B D

donde A : Ta M −→ Tb N , B : Tr R −→Tb N , C : Ta M −→ Tr R , D : Tr R −→ Tr R son las aplicaciones lineales construidas de manera obvia. En particular, A = Dϕr (a) y C ≡ 0 pues es la derivada de una aplicaci´n constante, D ≡ Id. Luego la matriz asociada a DΦ(a, r) es o de la forma Dϕr (a) 0 B Id

o la aplicaci´n B no importa. Como la aplicaci´n Dϕr (a) es un isomorfismo por hip´tesis, se o o sigue que DΦ(a, r) es isomorfismo.Ejemplos. 1. G = (Rn , +) 2. G = GL(n, R) con el producto usual de matrices. Si A = (aij ) ∈ GL(n, R) , entonces A−1 = 1/ det(A) (˜ij ) , donde aij son los cofactores de A . Luego los coeficientes de a ˜ A−1 son cuocientes de polinomios, donde el denominador es no nulo, por lo tanto,

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A −→ A−1 es C ∞ . Claramente, la aplicaci´n (A, B) ∈ GL(n, R) −→ AB ∈ GL(n, R) o es C ∞ . Enel caso especial n = 1 , n´ meros reales no nulos. u 3. Sea C∗ = C − {0} . Entonces G = (C∗ , ·) con las operaciones (x, y) · (x , y ) −→ x y (xx − yy , xy + yx ) y (x, y) −→ ,− 2 son ambas C ∞ , luego G 2 + y2 x x + y2 es un grupo de Lie. 4. S1 ⊂ C∗ con el producto de n´meros complejos es un grupo de Lie abeliano y u compacto. 5. S3 ⊂ R4 , con el producto de cuaternios es un grupo de Lie noabeliano y compacto. Proposici´n 7.1 Sean G1 y G2 grupos de Lie. Entonces G = G1 × G2 , con el producto o (x, y) · (x , y ) = (x · x , y · y ) y el inverso dado por (x, y)−1 = (x−1 , y −1 ) es un grupo de Lie. Demostraci´n. Inmediata. o Ejemplos 1. S1 × S1 = T2 ⊂ R4 es un grupo de Lie. 2. Tn = S1 × · · · × S1 es un grupo de Lie.
n−veces

GL(1, R) = R − {0} es el grupo multiplicativo de losTeorema 7.3 Sea G un grupo de Lie y H ⊂ G un subgrupo que es a la vez una subvariedad. Entonces H con esta estructura de variedad y de grupo es un grupo de Lie. Demostraci´n. Es claro que H × H es una subvariedad de G × G . Luego la aplicaci´n o o o inclusi´n F1 : H × H −→ G × G dada por F1 (x, y) = (x, y) es una incrustaci´n C ∞ . Si o P : G × G −→ G es la aplicaci´n producto P (g1 , g2 ) = g1 · g2...