guayana

Sucesiones
Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.
 Ejemplos:

Serie infinita
Si {an} es una sucesión infinita, entonces:
ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…
Se llama una serieinfinita o simplemente una serie.
Los números a1, a2 ,a3, ........ Se llaman los términos de la serie.
Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:
S1= a1
S2= a1 + a2
S3= a1 + a2 + a3
Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….
Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en las siguientes definiciones:
Para la serie infinita ðan , la n-ésimasuma parcial viene dada por :
Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an
Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos
S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..
Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.
Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales
De manera quelas siguientes propiedades son consecuencias directas de sus análogos en sucesiones.
Propiedades de las Series Infinitas:
Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.
1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B
3. ðoon=1 (an + bn)= A -B
Si se suprimen los N términos de una serie, ello no destruye su convergencia (o divergencia)Criterios de Convergencia.

-Primer Criterio de Convergencia 
Enésimo Termino
          Si lim → ∞ An != 0 entonces S∞ diverge.
          Si lim → ∞ An = 0 entonces S∞ varía, no se sabe a que va a ser igual.


-Segundo Criterio de Convergencia
  Criterio de la Razón

          Si lim → ∞ |(An+1)/An| < 1 entonces S∞ converge.
          Si lim → ∞ |(An+1)/An| > 1 entonces S∞ diverge.          Si lim → ∞ |(An+1)/An| = 1 entonces S∞ varía, no se sabe a que va a ser igual.


Tercer Criterio de Convergencia
Criterio de la Integral
            Si la integral  de 1 a ∞ de An dn converge, S∞ converge.

            Si la integral  de 1 a ∞ de An dn dinverge, S∞ diverge.


Serie alternante
Serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos, como 1 - 2 + 3 - 4+ 5 - ...
Una serie alterna es convergente si el valor absoluto de cualquier término es menor que el precedente y el límite de los términos es 0. Por ejemplo:
Sn = -1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - ... + (-1)n/n
Una serie alterna se puede tratar como la suma de dos series, una sólo con términos positivos y otra sólo con términos negativos. Si ambas son convergentes por separado, la serie alterna esconvergente. El valor absoluto de cada término en la siguiente serie alterna no siempre es menor que el del término precedente. Sin embargo, aún así es convergente porque las dos series, una sólo con términos positivos y la otra sólo con términos negativos, son convergentes.
S =1/21 -1/30 + 1/22 - 1/31 + 1/23 - 1/32 + 1/24 - 1/33 + ...
es convergente porque
S1 = 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + ...
y S2 = -1/30 - 1/31 - 1/32 - 1/33 - ...
son convergentes.
Serie de potencias
Una serie de potencia puede ser interpretada como una función de x.

Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.las series potencias, vista como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que sonfunciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, un serie de potencias. Desde un punto de vista practico, las series de potencias aproximan a su función de suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es mas que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente...