Guia 1 Cal III

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´
FACULTAD DE INGENIER´IA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

C´
alculo III
Gu´ıa 1
Profesores: M. Poblete - F. Torres

Segundo Semestre 2014

1. Determinar el dominio de f y graficar
a) f (x, y) =

4
4−x2 −y 2

b) f (x, y) =

16 − x2 − y 2

c) f (x, y) =

16 − x2 − 4y 2

d ) f (x, y) =

x2 − 4y 2 + 16

e) f (x, y) = √

1
16−x2 −4y 2

f ) f (x, y) =

x−y
x+y

g) f (x, y) = ln(x2+ y)
h) f (x, y) = arcsin(x + y)
2. Determinar el dominio de f y representarlo como una regi´on en R3 .
a) f (x, y, z) =

x+y+z
x−y−z

b) f (x, y, z) =

z
x2 −y

9 − x2 − y 2 − z 2

c) f (x, y, z) =

d ) f (x, y, z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z
e) f (x, y, z) = ln x + ln y + ln z
f ) f (x, y, z) = ln(4 − x2 − y 2 ) + |z|
g) f (x, y, z) = xz arc cos(y 2 − 1)
3. Sea z = f (x, y), muestre lascurvas de nivel en los n´
umeros k indicados.
100 − 25x2 − 4y 2 en 0, 2 y 4

a) f (x, y) =
b) f (x, y) =

√

x + y en 10, 8 y 6

c) f (x, y) = 12 (x2 + y 2 ) en 8, 6 y 4
d ) f (x, y) =

x−3
y+2

en 1, − 12 y -2

e) f (x, y) = exy en 1, 2 y

1
4

f ) f (x, y) = ln(xy) en 1, 2 y −2

1

C´
alculo III

4. Calcular (f ◦ g)(x, y) y determine su dominio
a) f (t) = arcsin t y g(x, y) =

1 − x2 − y 2

b) f(t) = et y g(x, y) = y ln x
5. Demostrar los siguientes l´ımites usando la definici´on
a)

(3x − 4y) = 1

l´ım
(x,y)→(3,2)

b)

(5x + 4y) = −6

l´ım

(x,y)→(−2,1)

c)

(3x − 2y) = −9

l´ım

(x,y)→(−1,3)

6. Verificar si

l´ım

f (x, y) existe, en caso de existir, pruebe usando la definici´on

(x,y)→(0,0)

a) f (x, y) =

x2 −y 2
x2 +y 2

b) f (x, y) =

x2
x2 +y 2

c) f (x, y) =

x4 +3x2 y 2 +2xy 3(x2 +y 2 )2

d ) f (x, y) =

x2 y 2
x4 +y 4

e) f (x, y) =

x2 y+xy 2
x2 +y 2

f ) f (x, y) =

x3 +y 3
x2 +y 2
√ xy

g) f (x, y) =

x2 +y 2

2

x +2xy
h) f (x, y) = √
2
2
x +y

7. Usando teorema de l´ımite de funciones compuestas, calcular
a)

l´ım

arctan

(x,y)→(2,2)

b)

y
x

ex−y

l´ım
(x,y)→(ln 3,ln 2)

c)

l´ım
(x,y)→(4,2)

1
3x−4y

8. Determine todos los puntos en que la funci´on escontinua
a) f (x, y) =

x2
y−1

b) f (x, y) =

1
x−y

c) f (x, y) = sin

y
x
2

d ) f (x, y) = ln(xy )
e) f (x, y) =

4x2 y+3y 2
2x−y

f ) f (x, y) = arc cos(x + y)
´
DEPTO. DE MATEMATICA

c Francisco J. Torres

C´
alculo III

g) f (x, y) = ln(25 − x2 − y 2 )
√ xy

si (x, y) = (0, 0)

0

si (x, y) = (0, 0)

x2 +y 2

h) f (x, y) =
i ) f (x, y) =

2x2 y
x4 +y 2

j ) f (x, y) =

x3 +y 3
x2 +y 2

0
0
xy|x|+|y|

k ) f (x, y) =

0

l ) f (x, y) = √
m) f (x, y) = √

si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)

xy
16−x2 −y 2
x
4x2 +9y 2 −36

n) f (x, y) = arcsec(xy)
x2 +y 2 −9
1−x2 −y 2

n
˜) f (x, y) = ln

o) f (x, y) = arcsin(x + y) + ln(xy)
sin(x+y)
x+y

p) f (x, y) =

1

si x + y = 0
si x + y = 0

9. Determine si la discontinuidades evitable o esencial. Si la discontinuidad es evitable,
redefina f (0, 0) de modo que la nueva funci´on sea continua.
a) f (x, y) =

xy
x2 +xy+y 2

b) f (x, y) =

x
x2 +y 2

c) f (x, y) = (x + y) sin
d ) f (x, y) =

x2 y 2
x2 +y 2

e) f (x, y) =

x3 y 2
x6 +y 4

x
x2 +y 2

2

2y −3xy
f ) f (x, y) = √
2
2
x +y

g) f (x, y) =

x3 −4xy 2
x2 +y 2

10. Regla de la cadena
x+y
a) Sea f una funci´ondiferenciable en R. Defina w = f ( x−y
)
Demuestre que
xwx + ywy = 0
∂w
Notaci´
on wx = ∂x

´
DEPTO. DE MATEMATICA

c Francisco J. Torres

C´
alculo III

b) Suponga que f : R2 → R es una funci´on diferenciable tal que f (3, 4) = 2 y sus
derivadas parciales en este punto valen 5 y 7 respectivamente.
Ahora, considere la funci´on
g(x, y) = (x + y)3 f (x3 + y, x2 + y 2 − x)
Calcular gx (1, 2).
c) Sea f: R2 → R es una funci´on diferenciable tal
fxx + fyy = 0
Ahora, considere la funci´on
z(u, v) = eu cos(v) + f (u + v, u − v)
Determinar el valor de
zuu + zvv
d ) Calcular

fx ( π3 , 1),

donde

f (x, y) = sin(xy x cos(xx y sin(x ln(y)))
e) Sea z = f (x, y) una funci´on diferenciable. Suponga que
x = u2 − v 2

y = −x

Demuestre que
vzv + uzu = 2xfx + 2yfy
f ) Considere para x > 0,
y
v = arctan(...