guia dinamicos

Ingeniería de sistemas

Tema 3. ANALISIS DE LA RESPUESTA DE
SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO
3.1 Respuesta Temporal de Sistemas en Tiempo Continuo
Sea un sistema continuo cuya respuesta y( t ) ante una entrada u( t ) es objeto de
estudio, representado por la ecuación diferencial
a n y n ) + a n−1 y n −1) + + a 1 y'+ a 0 y =b m u m) + +b 1 u'+b 0 u

( 3.1 )

con un conjunto de condiciones inicialesy(0), y'(0),…, y n −1) ( 0) siendo n el orden del
sistema.
La transformada de Laplace aplicada a la ecuación daría
a n ( s n Y ( s) − s n −1 y (0) − s n − 2 y ' (0) − ) + a n −1 ( s n −1Y ( s) − s n − 2 y (0) −
b m ( s mU ( s) − s m−1u(0) − ) +b m−1 ( s m−1U ( s) − s m− 2 u(0) −

) + + a 0 Y ( s) =

) + +b0U ( s)

( 3.2 )

Reagrupando términos
( a n s n + a n−1s n −1 + + a1s + a 0 )Y ( s) = (bm s m ++b1s + b0 )U ( s) + P( s)

( 3.3 )

siendo P( s) un polinomio que depende de las condiciones iniciales tanto en y( t ) como u( t ) .
De esta forma la transformada de la respuesta de un sistema continuo se puede
expresar como
bm s m + +b1 s + b0
P ( s)
Y ( s) =
U ( s) +
= Y1 ( s) + Y2 ( s) ( 3.4 )
n
n −1
n
a n s + a n −1 s + + a 1 s + a 0
a n s + a n −1 s n −1 + + a1 s + a 0
por lo tanto larespuesta es suma de dos términos Y1 ( s) y Y2 ( s) :

1) Respuesta de estado cero, debida a la entrada U ( s) asumiendo condiciones iniciales nulas
(régimen permanente)
Y1 ( s) = G ( s)U ( s)

( 3.5 )

Tema 3

2) Respuesta de entrada cero, debida a las condiciones iniciales asumiendo entrada nula
(régimen transitorio)
Y2 ( s) =

P ( s)
D( s )

( 3.6 )

siendo D( s) el denominador de la función detransferencia G ( s) .
Se analizará la respuesta y( t ) de un sistema continuo ante un entrada u( t ) en escalón
e impulso δ( t ) . En el estudio se supondrá que el grado del numerador de G ( s) es inferior al
del denominador pues de lo contrario
lim Y ( s) = ∞
s→∞

( 3.7 )

lo cual acentuaría sin límite la respuesta del sistema a altas frecuencias

3.2 Respuesta Escalón
Dado un sistema lineal einvariante en el tiempo cuya función de transferencia viene
dada por
G ( s) =

Y ( s)
U ( s)

( 3.8 )

se denomina respuesta escalón a la salida obtenida tras aplicar como entrada una señal
escalón unitario u( t ) , cuya transformada de Laplace viene dada por

U ( s) =

1
s

( 3.9 )

Sistemas de Primer Orden

Un sistema de primer orden queda descrito por una ecuación diferencial del tipo
y'( t ) + a 0y( t ) = b0 r ( t )
con la condición inicial y(0) .
La transformada de Laplace de la salida resulta en

2

( 3.10 )

Ingeniería de sistemas

Y ( s) =

b0
y( 0)
U ( s) +
s + a0
s + a0

( 3.11 )

Ante entrada escalón de amplitud A con U ( s) = A / s y considerando nula la
respuesta de entrada cero, la respuesta sería
b0 A
s( s + a 0 )

Y ( s) =

( 3.12 )

Descomponiendo en fracciones simples,
K1K2
b A 1 b0 A 1
+
= 0
−
s s + a0
a0 s a0 s + a0

Y ( s) =

( 3.13 )

y aplicando la transformada inversa (en forma de tablas)
y (t ) =

b0 A
(1 − e − a0t )u(t )
a0

( 3.14 )

La respuesta es de tipo exponencial y si a 0 > 0 es decreciente en el término
exponencial y por lo tanto estable, tendiendo al valor constante (Figura 3.1.).

2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
y (t)

1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0

0

1

2

3

45

t

Figura 3.1 Respuesta escalón de sistema de primer orden.

Se define la constante de tiempo de un sistema de primer orden
τ=

1
a0

( 3.15 )

Tema 3

como el instante de tiempo en el que la respuesta alcanza el 63% del valor final. Usando este
parámetro, la función de transferencia de un sistema de primer orden queda
G ( s) =

b0 1
k
=
a 0 τs + 1 τs + 1

( 3.16 )

siendo k la ganancia delsistema.
Sistemas de Segundo Orden

Un sistema de segundo orden viene descrito por una ecuación diferencial del tipo

y''+ a1 y'+ a 0 y = b0 u

( 3.17 )

con condiciones iniciales y( 0), y'(0) .
La transformada de Laplace aplicada a la ecuación resulta en

Y ( s) =

b0
P ( s)
U ( s) + 2
s + a1 s + a 0
s + a1s + a 0
2

( 3.18 )

con P( s) debido a las condiciones iniciales.
Ante entrada escalón de...