GUIA3Param Tricas

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matemática y C. C.
Facultad de Ciencia
Coordinación: Calculo II

1° Semestre 2015

Guía de ejercicios: Curvas Paramétricas
1.0

2.0

Elimine elparámetro y bosqueje la curva:
a.
x = 2t 3 − 1,
y = 2t 3 + 1

b.
c.

x = cosh t ,

y = senh t

x = 2 + cos t ,

y = 1 − sen t

d.

x = cos 4 t ,

y = sen 4 t

e.

x = 1+ t2,

y = t3

Determine

5.0

d2y
dx2

sin eliminar el parámetro

x = 3 − 2 cos t ,

y = −1 + 5sen t ,

b.

x = 3 tan t − 1,

y = 5 sec t + 2,

c.

x = cot t − 2,
1
x=
,
1+ t2
2
x=
,
1+ t2

y = −2 csc t + 5,
1
y=
,
t − t2
2
y=
,
t (1+ t2)

e.

4.0

y

a.

d.

3.0

dy
dx

t ≠ n ⋅π
t ≠ (2n − 1) ⋅ π2
t ∈] 0, π [

t ∈] 0, 1 [

t≠0

Escriba una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.
a.
x = t2,
y = t3,
t =1t=

y = 4 cos t ,

π

b.

x = 3sen t ,

c.

x = et ,

y = e −t ,

t =0

d.

x = 3t ,

y = 8t 3 ,

t = − 14

e.

x = 2 sec t ,

4

t = − π6

y = 2 tan t ,

Encuentre el área de la región entre la curvadada y el eje OX.
a.
x = 2t + 1,
y = t 2 + 3,
t ∈ [ − 1, 2 ]
b.

x = et ,

y = e −t ,

t ∈ [ 0, 10 ]

c.

x = 3sen t ,

y = 4 cos t ,

t ∈ [ 0, π2 ]

d.
e.

x = cosh t ,
x = 3(t − sen t ),

y = senh t,
y = 3(1 − cos t ),

t ∈ [ 0, 1 ]
t ∈ [ 0, 2π ]

Encuentre la longitud de arco de la curva dada:
a.
x = t2,
y = t3,
t ∈ [ 0, 1 ]
b.

x = ln(cos t ),

y = t,

c.

x = 2t ,

y = t3 +

d.

x = tanh t,

e.

x = cos t ,

t ∈ [ 0,
1
3t

π
4

]

t ∈ [ 1, 2 ]

,

y = ln(cosh t ),
2

t ∈ [ − 3, 3 ]

y = ln(sec t + tan t ) − sen t ,

t ∈ [ 0, π4 ]

Universidad de Santiago de Chile

5.0.

Departamento deMatemática y C. C.

Ejercicios de Curvas Paramétricas
1.

Calcule el área de la superficie generada al
hacer rotar la curva, representada por las
ecuaciones Paramétricas:

 x = 3t − t 3
, con t ∈ [0 ,1 ] ,

 y = 3t 2
alrededor del eje OX. Calcule además el área
bajo la curva, la longitud de la curva y el
volumen de revolución en torno del eje OX.

2.

Dada la curva cuyas ecuaciones...