hamilton

Divulgaciones Matem´ticas Vol. 7 No. 2 (1999), pp. 167–185
a

´
Control Optimo Determinista
via Programaci´n Din´mica
o
a
Deterministic Optimal Control via Dynamic Programming
Guillermo Ferreyra (ferreyra@math.lsu.edu)
Department of Mathematics
Louisiana State University
Baton Rouge, LA 70803, U.S.A.

Jes´s Pascal (pascal@luz.ve)
u
Departamento de Matem´tica y Computaci´n
a
oFacultad de Ciencias, Universidad del Zulia
Maracaibo, Venezuela.
Resumen
´
Este trabajo ofrece una introducci´n a la Teor´ del Control Optimo
o
ıa
con varios ejemplos de aplicaciones pr´cticas de esta teor´ a problemas
a
ıa
de ciencias e ingenier´ Se hace ´nfasis en el m´todo de la Programaci´n
ıa.
e
e
o
Din´mica el cual, aplicado a problemas de control ´ptimo determinista,
a
oproduce una ecuaci´n diferencial en derivadas parciales no lineal de
o
primer orden cuya soluci´n es la funci´n de valor del problema original.
o
o
Se incluye una demostraci´n no rigurosa de este resultado (la cual sin
o
embargo puede volverse rigurosa utilizando conceptos m´s avanzados
a
que los presentados en este trabajo). Finalmente se utiliza esta t´cnica
e
para resolver expl´ıcitamente dos de los problemas planteados.
Palabras y Frases Clave: control ´ptimo, soluci´n de viscosidad,
o
o
programaci´n din´mica.
o
a
Abstract
This paper offers an introduction to Optimal Control Theory and
several examples of practical applications of this theory to problems in
science end engineering. Emphasis is given to the dynamic programming method, which applied to deterministicoptimal control problems
Recibido 1999/03/03. Aceptado 1999/05/23.
MSC (1991): Primary 49-01; Secondary 49L20, 49L25.

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Guillermo Ferreyra, Jes´s Pascal
u

produce a first order nonlinear partial differential equation whose solution is the value function of the original problem. A non-rigorous proof
of this fact is included (but the proof can be made rigorous using deeper
conceptsthan those defined in this paper). Finally the technique is used
to explicitly solve two of the stated problems.
Key words and phrases: optimal control, viscosity solutions, dynamic programming.

1

Introducci´n
o

La idea de control puede ser expresada como el proceso mediante el cual se
ejerce una influencia sobre el comportamiento de un sistema din´mico (que
a
var´ con el tiempo) paraalcanzar un prop´sito previamente fijado. Una
ıa
o
clase importante de modelos de sistemas din´micos controlados, a los cuales
a
se les dice simplemente sistemas de control, es la representada por la ecuaci´n
o
diferencial en Rn
x(t) = f (x(t), u(t)),
˙

x(t0 ) = x0 ,

(1)

donde la din´mica f es una funci´n que satisface condiciones adecuadas y el
a
o
control u(·) pertenece a unafamilia especial U de funciones con valores en
un subconjunto U de Rn . Una vez elegido un control u ∈ U , el sistema (1)
determina una trayectoria o estado x(·) con condici´n inicial x0 en el momento
o
t0 .
Por ejemplo, si se desea controlar la trayectoria de un avi´n, con condici´n
o
o
inicial x(t0 ), para lograr una condici´n final x(tf ), el estado del sistema x(·)
o
podr´ representarla posici´n y velocidad del avi´n y el control u(·) repreıa
o
o
sentar´ la fuerza o aceleraci´n necesaria para lograr tal objetivo. Con esta
ıa
o
formulaci´n, este ejemplo representa un problema para la Teor´ de Control,
o
ıa
la cual hace ´nfasis en el an´lisis sobre las condiciones necesarias y suficiene
a
tes para la existencia de los controles adecuados, y su computabilidad, asi
comotambi´n de la existencia, unicidad, y estabilidad de la trayectoria que
e
garantice el logro de dicho objetivo. Ahora bi´n, si adem´s se desea lograr tal
e
a
prop´sito en un tiempo m´
o
ınimo, o con m´
ınimo uso de combustible, entonces
este es un problema de control ´ptimo. En tal caso, se quiere minimizar una
o
funcional que depende del estado del sistema y del control llamada...