helipse resuelto

LA ELIPSE
Y
LA HIPÉRBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS
UNIDAD 14

Ejercicios Resueltos
OBJETIVO 1

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la
definición de la elipse como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.

1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos
,
F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno
de sus lados
rectos igual a 9.
Como los focos tienen lamisma abscisa, el eje
focal es el eje y. El centro se encuentra en el
punto medio entre ellos: C(0, 0).
• La distancia c es: c  0  3 3
b2  a 2  c 2

b 2 a 2  9
• El lado recto es:
2b 2
LR 
9
a

• Sustituyendo:
2

2a  9a  18 0
a

9  81  144 9 15

4
4





2 a2  9
9
a
   9     9   4 2   18
a
2 2 
2

24
a1  6
4
6
3
a 2 
4
2

• El valor negativo de a no se considera
puesto que a es una longitud. Por tanto a =
6.

2

2

b a  9
2

b 36  9 27
• La ecuación de la elipse es:
2

2

x
y

1
27 36

2) Los focos de una elipse son los
puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de
su eje menor es 8. Encuentra la
ecuación de la elipse, las coordenadas
de sus vértices y su excentricidad.
•El eje focal es paralelo al eje y.
• El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
82
c
3
 La distancia entre los focos es:
2
k=2+c= 2+3 =5
→ C(3, 5)
 
2b = 8 b = 4
2

2

a b  c

2

a 2 16  9 25

• Ecuación de la elipse:

 x  3
16

2


y  5

25

2

1

• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3,
10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3,0)
• Excentricidad:

c
3
e 
a 5

3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de los puntos cuya distancia al punto (4, 0)
es igual a la mitad de su distancia a la recta x
– 16 = 0 e interpreta el resultado.
• Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
d1   x  4 2   y  0 2
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta
x – 16 = 0:
x  16
d2 
 12

1
d1  d 2
2 x  4

2

 x  4  y 2 
2

y 
2

1
2
x

16


4

1
x  8 x  16  y  x 2  32 x  256
4
2

2

3 2
x  y 2  48
4



2

1
 x  16 
2

2



1 2
 x  8 x  64
4

3x
y

1
4  48  48

2

2

x
y

1
64 48

El lugar geométrico descrito es una elipse
horizontal con centro en el origen, eje mayor
igual a 2(8) = 162y 48eje menor igual a

4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes
verticales situados de manera que dividan en
claro en tres espacios iguales.

Si el eje x es la base del arco (el eje focal de
la elipse) y el origen es su punto medio, la
ecuación es del tipo
, con el
x2 y2
a

2



b

2

1semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b
= 45. Para que el claro se divida en tres
partes iguales, la distancia de los soportes a
cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

• La ecuación es:

x2
y2

1
5625 2025

Para determinar la altura de los soportes, se
hace x = 25 en la ecuación y se despeja el
2
2
valor de
y:
2
625
y

25
 
y

1

1
5625 2025
56252025
1
y2

1
9 2025
16200
y 
1800
9
2

y2
8

2025 9

y 30 2

Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás
la definición de la hipérbola como
un lugar geométrico y su ecuación
en la forma canónica.

1) Encuentra2 los2 elementos de la
y
x

1
hipérbola
a 2 9

9 16
b 2  16  a =3; b = 4

2

2

c a  b

C(0, 0)

Eje focal

El eje y

Vértices

V(0, 3),

V’(0, –3)

Focos

F(0, 5),

F’(0, –5)

Distancia focal

10

Longitud del eje transverso

6

Longitud del eje conjugado

8

Excentricidad
Asíntotas

2b 2
a

32
3

c 5
e 
a 3
3
y x
4

c 2 9  16 25

c  5 (la raíz negativa se descarta)

Centro

Longitud de...