Hipervolas

PRACTICA DIRIGIDA V

1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, foco sobre el eje X y pasa por los puntos: P= (-3; 2√3), Q= (4; 4√5 /3).

Solución:

Ecuación de la elipse: X² + Y² = 1 a > b
a² b²

(-3)² + (2√3)² = 1 (4)² + (4√5 /3)² = 1
a² b² a² b²
9b² + 12a² = a²b² … 1 16b² + 80/9a² = a²b² ... 2

Reemplazando 1 en 2: 2

16b² + 80/9a² = 9b² + 12a² -3 3
144 b² + 80 a² = 81b² + 108 a²
63b² = 28a²
a² = 9 -2
b² 4

Rpta: X² + Y² = 19 4


2.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, uno de sus vértices esta en el punto (0; 7) y pasa por M= (√5; 14/3)

Solución:

Ecuación de la elipse: X² + Y² = 1 b > a
a² b²

5 + 196/9 = 1 0 + 49 = 1
a² b² a² b²
45b² + 196a² = 9(a²b²) … 1 49a² = a²b²… 2

Reemplazando 2 en 1:
7
45b² + 196a² = 9(49a²)
45b² = 245a²
a² = 9
b² 49 -3 3







-7


Rpta: X² + Y² = 1
9 49
3.- Unaelipse tiene su centro en el origen de coordenadas y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos A = (√6; -1) y B = (2; √2)

Solución:

Ecuación de la elipse: X² + Y² = 1 a > b
a² b²

6 + 1 = 1 4 + 2 = 1
a² b² a² b²
6b² +a² = a²b² … 1 4b² +2a² = a²b² … 2


Reemplazando 2 en 1: 1


6b² + a² = 4b² +2a² - √2 √2
2b² = a²
a² = 2
b² 1 -1

Rpta: X² + Y² = 1
2 1

4.- Hallar la ecuación de laelipse que pasa por el punto N = (√7/2; 3), tiene su centro en el origen de coordenadas, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su menor.


Solución:


Ecuación de la elipse: X² + Y² = 1 b > a
a² b²

7/4 + 9 = 1
a² b²
7b² + 36a² = 4 (a²b²) … 1Luego: 2b = 2(2a)
b = 2a
b² = 4a² … 2 4


Reemplazando 2 en 1:


7(4a²) + 36a² = 4 (a²) (4a²) -2 2
64 = 16a²
a² = 4


Hallando b²: b² = 4(4) = 16
-4Rpta: X² + Y² = 1
4 16

5.- Probar que la longitud del lado recto es 2b²/a de la elipse X² + Y² = 1; a>b
a² b²


F1 F2



F1 = (-c ; 0); F2 = (c ; 0)



Hallando “c”: a² - c ² = b²
c ² = a² - b²

Analizando en el F2:

F2= (√a² - b²; 0)
Ecuación de Lado Recto de F2: X = √a² - b²

Reemplazando Ec. Lado recto en Ec. Elipse para hallar puntos de intersección:

a² - b² + Y² = 1
a² b²
a²b² - b4 + a²Y² = a²b²
Y² = b4 / a²
Y = ±b²/a


Distancia entre dos puntos:
D = L.R.= √ (b²/a – (-b²/a))²
L.R. =...