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Polinomios

1.- Funciones cuadr´ticas
a
Definici´n 1 (Funci´n polinomial)
o
o
Sea n un entero no negativo y sean an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 n´mero s reales con an = 0. La funci´n
u
o
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
se denomina funci´n polinomial en x de grado n.
o
Ejemplo 1 Las siguientes funciones son funciones polinomiales:
1. f (x) = 3x5 + x3 − 0.2x2 +2x − 53,
2. f (x) = (x − 2)(x + 3),
3. f (x) = 2,
4. f (x) = x3 ,

grado 5.

grado 2.

grado 0.
grado 3.

Definici´n 2 (Funci´n cuadr´tica)
o
o
a
Sean a, b, c n´meros reales con a = 0. La funci´n dada por
u
o
f (x) = ax2 + bx + c
se llama funci´n cuadr´tica.
o
a
Una funci´n cuadr´tica es un polinomio de grado 2. Su gr´fica es una par´bola.
o
a
a
a
Todas las par´bolas sonsim´tricas respecto a una recta, el eje de simetr´ El punto donde el eje que interseca la
a
e
ıa.
par´bola es el v´rtice.
a
e
Ejercicio 2 Trazar, dando diferentes valores a x, la gr´fica de
a
f (x) = x2 + 3

y

g(x) = −x2 + 3.

¿En qu´ se diferencian las dos par´bolas?
e
a
Ejercicio 3 Trazar, dando diferentes valores a x, la gr´fica de
a
f (x) = x2 ,

g(x) = x2 + 3

y

h(x)= x2 − 2.

y

h(x) = (x − 2)2 .

¿En qu´ se diferencian estas par´bolas?
e
a
Ejercicio 4 Trazar, dando diferentes valores a x, la gr´fica de
a
f (x) = x2 ,

g(x) = (x + 3)2

¿En qu´ se diferencian estas par´bolas?
e
a

1

La funci´n cuadr´tica f (x) = ax2 + bx + c se puede reescribir de la forma f (x) = a(x − h)2 + k. Esta forma
o
a
alternativa, denominada forma est´ndar,es conveniente a la hora de trazar la gr´fica de la par´bola, ya que el punto
a
a
a
(h, k) corresponde al v´rtice. Si a > 0 la par´bola est´ “abierta hacia arriba”, mientras que si a < 0 la par´bola
e
a
a
a
est´ “abierta hacia abajo”.
a
Ejemplo 5 Trazar la gr´fica de f (x) = 2x2 + 8x + 7 utilizando para ello la forma est´ndar.
a
a
Para hallar la forma est´ndar de f tenemos que
autilizar la t´cnica de completar cuadrados:
e
f (x)

=
=
=
=
=

2(x2 + 4x) + 7
2(x2 + 4x + 4 − 4) + 7
2((x + 2)2 − 4) + 7
2(x + 2)2 − 8 + 7
2(x + 2)2 − 1.

A partir de esta forma f (x) = 2(x + 2)2 − 1 se
deduce que f representa una par´bola abierta hacia
a
arriba, a = 2 > 0, con v´rtice en el punto (h, k) =
e
(−2, −1).

Ejemplo 6 Escribir en forma est´ndar la ecuaci´n de lapar´bola que tiene v´rtice (1, 4) y pasa por el punto (0, 0).
a
o
a
e
La ecuaci´n de una par´bola en forma est´ndar es f (x) = a(x − h)2 + k. Por tanto tenemos que determinar el valor de los
o
a
a
par´metros a, h y k. El v´rtice de la par´bola es (h, k) = (1, 4); obtenemos
a
e
a
f (x) = a(x − 1)2 + 4.
Para determinar el valor de a usamos que la par´bola pasa por el punto (0, 0):
a
0 =a(0 − 1)2 + 4

⇒ a = −4,

lo que implica que la par´bola se escribe
a
f (x) = −4(x − 1)2 + 4.
Ejercicio 7 Escribir en forma est´ndar la par´bola f (x) = x2 − 8x + 15. Identificar el v´rtice y las intersecciones con el eje x.
a
a
e

Muchas aplicaciones se modelizan utilizando funciones cuadr´ticas y es necesario conocer el valor
a
m´ximo o m´nimos de una funci´n cuadr´tica.
a
ı
o
aRedactar esto m
Ejercicio 8 Demostrar que el v´rtice de f (x) = ax2 + bx + c se encuentra en el punto
e

−

b
,
2a

Indicaci´n: Escribir f en forma est´ndar
o
a
Ejercicio 9 M´ximos y m´
a
ınimos

2.- Divisi´n de polinomios
o
La divisi´n de polinomios es especialmente util para factorizar y determinar ceros de funciones polinomiales. La
o
´
funci´n polinomial
o
p(x) = x3 −3x2 + 3x − 1
tiene un cero en x = 1. Eso significa que p(1) = 0 y por tanto p se tiene que poder factorizar como
p(x) = (x − 1)q(x),
donde q(x) es un polinomio de grado 2. Para calcular q tenemos que usar el algoritmo de la divisi´n:
o
2

Dividimos x3 − 3x2 + 3x − 1 entre x − 1:
restar
restar
restar

x3 − 3x2 + 3x − 1
|x − 1
x3 − x2
x2 − 2x + 1
− 2x2 + 3x − 1
−2x2 + 2x
x−1...