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Explicación del tema 5 |
Estadística I
Tema 5. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad |
5.1 Variables aleatoriasSe llaman aleatorias aquellas situaciones que no podemos predecir con exactitud. Por ejemplo, el resultado de un volado o el precio del dólar a final del próximo mes. Mientras que el primer ejemplo da origen a resultados cualitativos {águila, sol} el segundo daorigen a resultados cuantitativos {13.20, 13.50, 13.45, 14.15, etc.} Aún los eventos que tienen resultados cualitativos pueden ser descritos con variables aleatorias.Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, los resultados posibles son:Como se observa, son 4 los resultados posibles y son cualitativos. Éstos están conformados por parejas ordenadas. Al conjunto de todos los resultados posibles de unevento aleatorio le llamamos espacio muestral y generalmente se designa con la letraS. Así, en este caso el espacio es S = {(águila, águila), (águila, sol), (sol, águila), (sol, sol)}Ahora supongamos que estamos interesados en el número de águilas que caen en el lanzamiento de dos volados. Como te puedes dar cuenta, éste no es un número que podamos predecir con exactitud, por lo que se trata de unavariable aleatoria que podemos definir así:X = Número de águilas en el lanzamiento de dos volados.Aunque no podamos predecir con exactitud esta variable, sí podemos afirmar que sólo puede tomar los valores de 0, 1 y 2.Pensemos ahora un segundo ejemplo. Supongamos que elegimos a un alumno del grupo al azar y lo medimos. Su estatura también sería una variable aleatoria ya que no podemos predecir conexactitud cuál será su valor.Y = Estatura de un alumno elegido al azar.En este caso no hay un valor límite para la estatura, y ésta resulta de un proceso de medición, lo cual hace aceptables valores fraccionarios o decimales para la estatura.Las variables aleatorias se clasifican en dos: 5.2 Concepto de distribuciones de probabilidadEl valor de una variable aleatoria depende del azar por lo queno puede calcularse por medio de fórmulas o ecuaciones, sin embargo sí podemos definir qué tan probable es que tome un determinado valor.Para el primer ejemplo en el que se considera lanzar dos volados y definimos X como el número de águilas que se obtienen, podemos ver que no es igualmente probable que la variable tome diferentes valores.La probabilidad de un evento se define como la razón entrelos casos favorables y los posibles, es decir entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral. * La probabilidad de que X = 2, es decir que obtenga dos águilas en dos volados, representa uno de los cuatro casos posibles {águila, águila}, por tanto: * La probabilidad de que X = 1, corresponde a los casos {águila, sol} y {sol, águila}, y sería: * Demanera análoga, para el caso {sol, sol} no se obtendría ninguna águila por lo que X=0:Los valores anteriores nos permiten afirmar que si el experimento de lanzar dos volados y contar las águilas lo repitiéramos un gran número de veces, el 25% de las veces obtendríamos cero águilas, 50% una y 25% dos águilas.De manera análoga a como realizamos las distribuciones de frecuencias en el módulo anterior,con los valores de estas probabilidades podemos conformar una distribución que describa qué tan probable es que la variable aleatoria tome diferentes valores.Esta distribución puede presentarse de manera tabular o gráfica: Distribución de probabilidades |
X | Probabilidad |
0 | .25 |
1 | .50 |
2 | .25 |
Total | 1.00 |
Observa que la suma de las probabilidades de todas las categorías esigual a 1. Esta es una condición necesaria en todas las distribuciones de probabilidad.Como estudiamos en el tema 1, a veces las distribuciones de frecuencias son presentadas en forma acumulativa. Lo mismo puede hacerse para las distribuciones de probabilidad. Observa la siguiente tabla: Distribución de probabilidades acumuladas |
X | Probabilidad |
0 | .25 |
1 | .75 |
2 | 1.00 |
Las...